Đến nội dung

Hình ảnh

$x,y,z$ thuộc $[0;2]$ và $x+y+z=3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
tap lam toan

tap lam toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 178 Bài viết

Cho $x,y,z$ là các số thực thuộc đoạn $[0;2]$ và $x+y+z=3$. Tìm GTNN của biểu thức
$$P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$$



#2
quangtq1998

quangtq1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 192 Bài viết

Cho $x,y,z$ là các số thực thuộc đoạn $[0;2]$ và $x+y+z=3$. Tìm GTNN của biểu thức
$$P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$$

:D
Dùng cách xét hiệu xem sao :D


Không mất tính tổng quát, giả sử $c = max$ { $a,b,c $} $\Rightarrow 1\leq z \leq 2$
 
Xét $Q=\frac{1}{(x+y)^{2}+2}+\frac{1}{(x+y)^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+2}+\sqrt{(x+y)z}$


$P - Q = \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2}+2)((x+y)^{2}+2)} -\frac{x^2}{(z^{2}+x^{2}+2)(z^{2}+2)} + R $ với $R$ là 1 biểu thức $R \ge 0 $
 

$P - Q \ge \frac{x^2}{z^2+x^2+2} . ( \frac{2}{(3-z)^2+2)}- \frac{1}{z^2+2}) = \frac{x^2}{z^2+x^2+2}. \frac{(z-1)(z+7)}{((x+y)^2+2)(z^2+2)} \ge 0 $
 

Nên $P \ge Q = \frac{1}{(3-z)^{2}+2}+\frac{1}{(3-z)^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+2}+\sqrt{(3-z)z}$


Đến đây xét hàm nhỉ


#3
quoccuonglqd

quoccuonglqd

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết
Giả sử $x\geqslant y\geqslant z\Rightarrow x^{2}+z^{2}\leqslant (x+\frac{z}{2})^{2},y^{2}+z^{2}\leqslant (y+\frac{z}{2})^{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{x^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{(y+\frac{z}{2})^{2}+2}$
Lại có $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\geqslant \sqrt{(x+\frac{z}{2})(y+\frac{z}{2})}\Leftrightarrow \frac{3z^{2}}{4}+2\sqrt{xyz}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\geqslant 0$
Đổi biến $(x+\frac{z}{2},y+\frac{z}{2})\rightarrow (a,b)$
Ta tìm cực trị $\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+\sqrt{ab}$ với $a,b \in [0,2]$, $a+b=3$
Thay $b=3-a$ và xét hàm f(a),ta tìm được cực trị tại $(a,b)=(1,2)$ hoặc $(2,1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 12-03-2016 - 22:23


#4
tap lam toan

tap lam toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 178 Bài viết

cái quan trọng là các bạn xét hàm đấy như thế nào? sao đến đoạn xét hàm ai cũng bỏ vậy :)



#5
quangtq1998

quangtq1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 192 Bài viết

cái quan trọng là các bạn xét hàm đấy như thế nào? sao đến đoạn xét hàm ai cũng bỏ vậy :)

 

:D
Dùng cách xét hiệu xem sao :D


Không mất tính tổng quát, giả sử $z = max$ { $x,y,z $} $\Rightarrow 1\leq z \leq 2$
 
Xét $Q=\frac{1}{(x+y)^{2}+2}+\frac{1}{(x+y)^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+2}+\sqrt{(x+y)z}$


$P - Q = \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2}+2)((x+y)^{2}+2)} -\frac{x^2}{(z^{2}+x^{2}+2)(z^{2}+2)} + R $ với $R$ là 1 biểu thức $R \ge 0 $
 

$P - Q \ge \frac{x^2}{z^2+x^2+2} . ( \frac{2}{(3-z)^2+2)}- \frac{1}{z^2+2}) = \frac{x^2}{z^2+x^2+2}. \frac{(z-1)(z+7)}{((x+y)^2+2)(z^2+2)} \ge 0 $





 

Nên $P \ge Q = \frac{1}{(3-z)^{2}+2}+\frac{1}{(3-z)^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+2}+\sqrt{(3-z)z}$


Đến đây xét hàm nhỉ

$f(z) = \frac{1}{(3-z)^{2}+2}+\frac{1}{(3-z)^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+2}+\sqrt{(3-z)z}$
$f'(z) = \frac{-2z}{(z^2+2)}+ -\frac{2(z-1)}{(z^2-2z+8)^2} +\frac{\frac{3}{2} - z}{\sqrt{z(3-z)}} + \frac{1}{2(z-4)^2} $
 
Sử dụng các kĩ thuật cho giải phương trình có thể giải ra nghiệm duy nhất $z = \frac{3}{2} $
 
Tuy nhiên nếu mà không thích và vì cực tiểu không đạt ở $z=\frac{3}{2} $ nên ta có thể chứng minh rằng :
 
$f'(1) . f'(2) < 0 $ nên $f'(z) $ có nghiệm $z_0$ nằm trong khoảng $[1;2] $
 
Mặt khác,$ f(1.2) > f(1) = f(2) $ Suy ra các đường biến biến thiên có dạng lồi, và cực tiểu đạt tại $f(1)$ hoặc$ f(2) $
 
Dấu $"="$ xảy ra chả hạn $ x= 0, y =1, z = 2 $





 

Hình gửi kèm

  • Hinh2_zpse52ddd90.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 13-03-2016 - 10:22


#6
tap lam toan

tap lam toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 178 Bài viết

Nếu mà phương trình $ f'(z)=0 $ còn có nghiệm $ z_{1},z_{2},... $ thì sao hả bạn? khi đó đồ thị của nó sẽ biến thiên lung tung chứ không đơn giản như bảng biến thiên của bạn (dù thực tế nó đúng). Mình có cách này
vì $ z\in [1;2] $ nên $ z^2 + 2 \leq 3z $, sử dụng đánh giá này ta có 
$$ f(z)\geq \frac{1}{3z}+\frac{1}{9-3z}+\frac{1}{7}+\sqrt{3z-z^{2}} $$
và cái này thì khảo sát rất dế.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh