Cho $x,y,z$ là các số thực thuộc đoạn $[0;2]$ và $x+y+z=3$. Tìm GTNN của biểu thức
$$P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$$
$x,y,z$ thuộc $[0;2]$ và $x+y+z=3$
#1
Đã gửi 12-03-2016 - 00:04
#2
Đã gửi 12-03-2016 - 21:47
Cho $x,y,z$ là các số thực thuộc đoạn $[0;2]$ và $x+y+z=3$. Tìm GTNN của biểu thức
$$P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$$
Dùng cách xét hiệu xem sao
Không mất tính tổng quát, giả sử $c = max$ { $a,b,c $} $\Rightarrow 1\leq z \leq 2$
Xét $Q=\frac{1}{(x+y)^{2}+2}+\frac{1}{(x+y)^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+2}+\sqrt{(x+y)z}$
$P - Q = \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2}+2)((x+y)^{2}+2)} -\frac{x^2}{(z^{2}+x^{2}+2)(z^{2}+2)} + R $ với $R$ là 1 biểu thức $R \ge 0 $
$P - Q \ge \frac{x^2}{z^2+x^2+2} . ( \frac{2}{(3-z)^2+2)}- \frac{1}{z^2+2}) = \frac{x^2}{z^2+x^2+2}. \frac{(z-1)(z+7)}{((x+y)^2+2)(z^2+2)} \ge 0 $
Nên $P \ge Q = \frac{1}{(3-z)^{2}+2}+\frac{1}{(3-z)^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+2}+\sqrt{(3-z)z}$
Đến đây xét hàm nhỉ
- huyxbian và quoccuonglqd thích
#3
Đã gửi 12-03-2016 - 22:19
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 12-03-2016 - 22:23
- quangtq1998 yêu thích
#4
Đã gửi 13-03-2016 - 08:12
cái quan trọng là các bạn xét hàm đấy như thế nào? sao đến đoạn xét hàm ai cũng bỏ vậy
#5
Đã gửi 13-03-2016 - 10:06
cái quan trọng là các bạn xét hàm đấy như thế nào? sao đến đoạn xét hàm ai cũng bỏ vậy
Dùng cách xét hiệu xem sao
Không mất tính tổng quát, giả sử $z = max$ { $x,y,z $} $\Rightarrow 1\leq z \leq 2$
Xét $Q=\frac{1}{(x+y)^{2}+2}+\frac{1}{(x+y)^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+2}+\sqrt{(x+y)z}$
$P - Q = \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2}+2)((x+y)^{2}+2)} -\frac{x^2}{(z^{2}+x^{2}+2)(z^{2}+2)} + R $ với $R$ là 1 biểu thức $R \ge 0 $
$P - Q \ge \frac{x^2}{z^2+x^2+2} . ( \frac{2}{(3-z)^2+2)}- \frac{1}{z^2+2}) = \frac{x^2}{z^2+x^2+2}. \frac{(z-1)(z+7)}{((x+y)^2+2)(z^2+2)} \ge 0 $
Nên $P \ge Q = \frac{1}{(3-z)^{2}+2}+\frac{1}{(3-z)^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+2}+\sqrt{(3-z)z}$
Đến đây xét hàm nhỉ
$f(z) = \frac{1}{(3-z)^{2}+2}+\frac{1}{(3-z)^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+2}+\sqrt{(3-z)z}$
$f'(z) = \frac{-2z}{(z^2+2)}+ -\frac{2(z-1)}{(z^2-2z+8)^2} +\frac{\frac{3}{2} - z}{\sqrt{z(3-z)}} + \frac{1}{2(z-4)^2} $
Sử dụng các kĩ thuật cho giải phương trình có thể giải ra nghiệm duy nhất $z = \frac{3}{2} $
Tuy nhiên nếu mà không thích và vì cực tiểu không đạt ở $z=\frac{3}{2} $ nên ta có thể chứng minh rằng :
$f'(1) . f'(2) < 0 $ nên $f'(z) $ có nghiệm $z_0$ nằm trong khoảng $[1;2] $
Mặt khác,$ f(1.2) > f(1) = f(2) $ Suy ra các đường biến biến thiên có dạng lồi, và cực tiểu đạt tại $f(1)$ hoặc$ f(2) $
Dấu $"="$ xảy ra chả hạn $ x= 0, y =1, z = 2 $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 13-03-2016 - 10:22
- huyxbian yêu thích
#6
Đã gửi 14-03-2016 - 20:01
Nếu mà phương trình $ f'(z)=0 $ còn có nghiệm $ z_{1},z_{2},... $ thì sao hả bạn? khi đó đồ thị của nó sẽ biến thiên lung tung chứ không đơn giản như bảng biến thiên của bạn (dù thực tế nó đúng). Mình có cách này
vì $ z\in [1;2] $ nên $ z^2 + 2 \leq 3z $, sử dụng đánh giá này ta có
$$ f(z)\geq \frac{1}{3z}+\frac{1}{9-3z}+\frac{1}{7}+\sqrt{3z-z^{2}} $$
và cái này thì khảo sát rất dế.
- quangtq1998 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh