Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$

bất đẳng thức và cực tri

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 ngobaochau1704

ngobaochau1704

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:học toán, xem Manchester United đá

Đã gửi 13-03-2016 - 17:30

cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=2ab$. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$



#2 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1758 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=2Hw2catzrtU}{Đây}$

Đã gửi 13-03-2016 - 18:10

Sau khi thay a+b=2ab vào P ta rút gọn được P=2t+1/căn(1+3t). (t=ab);

Ta có a+b>=2 căn(ab) hay 2*ab >= 2 căn(ab) <=> ab>=1 hay t>=1;

khi đó: đặt k= căn (3t+1) =>  k>=2 (do t>=1) .Từ đây:

   t= (k^2-1)/3 => P= 2 *(k^2-1)/3+ 1/k;

hay P= 2(k^2)/3+ (1/k) - (2/3);

<=> P= ((k^2)/16+1/(2k)+1/(2k)) + 29*(k^2)/48 - (2/3).

Áp dụng BĐT Cô-si 3 số ta có:

(k^2)/16 + 1/(2k)+ (1/2k)>= 3/4;

Kết hợp k>=2. Từ đây => P>= 3/4 + (29*4)/48 - (2/3) =5/2.

Vậy min P =5/2. Dấu'=' xảy ra <=> k=2 <=> t=1 <=> a=b=1.

Nhận xét: Bài này không khó lắm. Mấu chốt là phải dự đoán điểm rơi cô si( bạn có thể tham khảo trên mạng).

Nếu thấy hay. Mình có 1 đề nghị nho nhỏ là: bạn chỉ mình cách gõ Latex đc ko, minh doc roi ma chi hieu gi ca. minh cam on nhieu 

 


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#3 tranductucr1

tranductucr1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT PHan Bội Châu
  • Sở thích:đọc những truyện truyền cảm hứng
    lịch sữ toán học

Đã gửi 13-03-2016 - 18:58

cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=2ab$. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$

ta có $P =\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a} +\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$ $\geq \frac{(a+b)^2}{a+b} +\frac{1}{\frac{(1+a+1+b)}{2}}=a+b+\frac{2}{a+b+2}$ 
ta lại có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}$ => $a+b \geq 2$ 
Vậy $P \geq \frac{a+b+2}{8}+\frac{2}{a+b+2}+7*\frac{a+b}{8}-\frac{1}{4} \geq 2\sqrt{\frac{a+b+2}{8}*\frac{2}{a+b+2}}+7*\frac{2}{8}-\frac{1}{4}=\frac{5}{2}$  
Vậy Min $P=\frac{5}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 13-03-2016 - 22:26

Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường

Roronoa Zoro- One piece

Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065  


#4 tranductucr1

tranductucr1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT PHan Bội Châu
  • Sở thích:đọc những truyện truyền cảm hứng
    lịch sữ toán học

Đã gửi 13-03-2016 - 19:00

Sau khi thay a+b=2ab vào P ta rút gọn được P=2t+1/căn(1+3t). (t=ab);

Ta có a+b>=2 căn(ab) hay 2*ab >= 2 căn(ab) <=> ab>=1 hay t>=1;

khi đó: đặt k= căn (3t+1) =>  k>=2 (do t>=1) .Từ đây:

   t= (k^2-1)/3 => P= 2 *(k^2-1)/3+ 1/k;

hay P= 2(k^2)/3+ (1/k) - (2/3);

<=> P= ((k^2)/16+1/(2k)+1/(2k)) + 29*(k^2)/48 - (2/3).

Áp dụng BĐT Cô-si 3 số ta có:

(k^2)/16 + 1/(2k)+ (1/2k)>= 3/4;

Kết hợp k>=2. Từ đây => P>= 3/4 + (29*4)/48 - (2/3) =5/2.

Vậy min P =5/2. Dấu'=' xảy ra <=> k=2 <=> t=1 <=> a=b=1.

Nhận xét: Bài này không khó lắm. Mấu chốt là phải dự đoán điểm rơi cô si( bạn có thể tham khảo trên mạng).

Nếu thấy hay. Mình có 1 đề nghị nho nhỏ là: bạn chỉ mình cách gõ Latex đc ko, minh doc roi ma chi hieu gi ca. minh cam on nhieu 

dùng chức năng $Fx$ trong hộp soạn thảo từ đó tự mày mò là được 


Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường

Roronoa Zoro- One piece

Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065  


#5 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1758 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=2Hw2catzrtU}{Đây}$

Đã gửi 13-03-2016 - 19:04

ma hen ra cai chi chi o, chu kho doc lam


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh