cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=2ab$. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$
#1
Đã gửi 13-03-2016 - 17:30
#2
Đã gửi 13-03-2016 - 18:10
Sau khi thay a+b=2ab vào P ta rút gọn được P=2t+1/căn(1+3t). (t=ab);
Ta có a+b>=2 căn(ab) hay 2*ab >= 2 căn(ab) <=> ab>=1 hay t>=1;
khi đó: đặt k= căn (3t+1) => k>=2 (do t>=1) .Từ đây:
t= (k^2-1)/3 => P= 2 *(k^2-1)/3+ 1/k;
hay P= 2(k^2)/3+ (1/k) - (2/3);
<=> P= ((k^2)/16+1/(2k)+1/(2k)) + 29*(k^2)/48 - (2/3).
Áp dụng BĐT Cô-si 3 số ta có:
(k^2)/16 + 1/(2k)+ (1/2k)>= 3/4;
Kết hợp k>=2. Từ đây => P>= 3/4 + (29*4)/48 - (2/3) =5/2.
Vậy min P =5/2. Dấu'=' xảy ra <=> k=2 <=> t=1 <=> a=b=1.
Nhận xét: Bài này không khó lắm. Mấu chốt là phải dự đoán điểm rơi cô si( bạn có thể tham khảo trên mạng).
Nếu thấy hay. Mình có 1 đề nghị nho nhỏ là: bạn chỉ mình cách gõ Latex đc ko, minh doc roi ma chi hieu gi ca. minh cam on nhieu
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che
#3
Đã gửi 13-03-2016 - 18:58
cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=2ab$. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$
ta có $P =\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a} +\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$ $\geq \frac{(a+b)^2}{a+b} +\frac{1}{\frac{(1+a+1+b)}{2}}=a+b+\frac{2}{a+b+2}$
ta lại có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}$ => $a+b \geq 2$
Vậy $P \geq \frac{a+b+2}{8}+\frac{2}{a+b+2}+7*\frac{a+b}{8}-\frac{1}{4} \geq 2\sqrt{\frac{a+b+2}{8}*\frac{2}{a+b+2}}+7*\frac{2}{8}-\frac{1}{4}=\frac{5}{2}$
Vậy Min $P=\frac{5}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 13-03-2016 - 22:26
Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường
Roronoa Zoro- One piece
Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065
#4
Đã gửi 13-03-2016 - 19:00
Sau khi thay a+b=2ab vào P ta rút gọn được P=2t+1/căn(1+3t). (t=ab);
Ta có a+b>=2 căn(ab) hay 2*ab >= 2 căn(ab) <=> ab>=1 hay t>=1;
khi đó: đặt k= căn (3t+1) => k>=2 (do t>=1) .Từ đây:
t= (k^2-1)/3 => P= 2 *(k^2-1)/3+ 1/k;
hay P= 2(k^2)/3+ (1/k) - (2/3);
<=> P= ((k^2)/16+1/(2k)+1/(2k)) + 29*(k^2)/48 - (2/3).
Áp dụng BĐT Cô-si 3 số ta có:
(k^2)/16 + 1/(2k)+ (1/2k)>= 3/4;
Kết hợp k>=2. Từ đây => P>= 3/4 + (29*4)/48 - (2/3) =5/2.
Vậy min P =5/2. Dấu'=' xảy ra <=> k=2 <=> t=1 <=> a=b=1.
Nhận xét: Bài này không khó lắm. Mấu chốt là phải dự đoán điểm rơi cô si( bạn có thể tham khảo trên mạng).
Nếu thấy hay. Mình có 1 đề nghị nho nhỏ là: bạn chỉ mình cách gõ Latex đc ko, minh doc roi ma chi hieu gi ca. minh cam on nhieu
dùng chức năng $Fx$ trong hộp soạn thảo từ đó tự mày mò là được
Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường
Roronoa Zoro- One piece
Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065
#5
Đã gửi 13-03-2016 - 19:04
ma hen ra cai chi chi o, chu kho doc lam
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực tri
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLNBắt đầu bởi chcd, 20-03-2018 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNNBắt đầu bởi chcd, 04-03-2018 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
[ CHUYÊN ĐỀ ] BẤT ĐẲNG THỨCBắt đầu bởi phananhdao, 10-07-2017 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
cho a,b,c>0 thỏa $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 1$Bắt đầu bởi shindora, 06-02-2017 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN, GTLN của $B=\frac{4x^{2}+2x+1}{4x^{2}+1}$Bắt đầu bởi lethianhvan, 05-05-2016 ![]() |
|
![]() |
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh