Chủ đề này có 4 trả lời

[ngobaochau1704]

cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=2ab$. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$

[tritanngo99]

Sau khi thay a+b=2ab vào P ta rút gọn được P=2t+1/căn(1+3t). (t=ab);

Ta có a+b>=2 căn(ab) hay 2*ab >= 2 căn(ab) <=> ab>=1 hay t>=1;

khi đó: đặt k= căn (3t+1) =>  k>=2 (do t>=1) .Từ đây:

   t= (k^2-1)/3 => P= 2 *(k^2-1)/3+ 1/k;

hay P= 2(k^2)/3+ (1/k) - (2/3);

<=> P= ((k^2)/16+1/(2k)+1/(2k)) + 29*(k^2)/48 - (2/3).

Áp dụng BĐT Cô-si 3 số ta có:

(k^2)/16 + 1/(2k)+ (1/2k)>= 3/4;

Kết hợp k>=2. Từ đây => P>= 3/4 + (29*4)/48 - (2/3) =5/2.

Vậy min P =5/2. Dấu'=' xảy ra <=> k=2 <=> t=1 <=> a=b=1.

Nhận xét: Bài này không khó lắm. Mấu chốt là phải dự đoán điểm rơi cô si( bạn có thể tham khảo trên mạng).

Nếu thấy hay. Mình có 1 đề nghị nho nhỏ là: bạn chỉ mình cách gõ Latex đc ko, minh doc roi ma chi hieu gi ca. minh cam on nhieu 

 

[tranductucr1]

cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=2ab$. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$

ta có $P =\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a} +\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$ $\geq \frac{(a+b)^2}{a+b} +\frac{1}{\frac{(1+a+1+b)}{2}}=a+b+\frac{2}{a+b+2}$ 
ta lại có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}$ => $a+b \geq 2$ 
Vậy $P \geq \frac{a+b+2}{8}+\frac{2}{a+b+2}+7*\frac{a+b}{8}-\frac{1}{4} \geq 2\sqrt{\frac{a+b+2}{8}*\frac{2}{a+b+2}}+7*\frac{2}{8}-\frac{1}{4}=\frac{5}{2}$  
Vậy Min $P=\frac{5}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 13-03-2016 - 22:26

[tranductucr1]

Sau khi thay a+b=2ab vào P ta rút gọn được P=2t+1/căn(1+3t). (t=ab);

Ta có a+b>=2 căn(ab) hay 2*ab >= 2 căn(ab) <=> ab>=1 hay t>=1;

khi đó: đặt k= căn (3t+1) =>  k>=2 (do t>=1) .Từ đây:

   t= (k^2-1)/3 => P= 2 *(k^2-1)/3+ 1/k;

hay P= 2(k^2)/3+ (1/k) - (2/3);

<=> P= ((k^2)/16+1/(2k)+1/(2k)) + 29*(k^2)/48 - (2/3).

Áp dụng BĐT Cô-si 3 số ta có:

(k^2)/16 + 1/(2k)+ (1/2k)>= 3/4;

Kết hợp k>=2. Từ đây => P>= 3/4 + (29*4)/48 - (2/3) =5/2.

Vậy min P =5/2. Dấu'=' xảy ra <=> k=2 <=> t=1 <=> a=b=1.

Nhận xét: Bài này không khó lắm. Mấu chốt là phải dự đoán điểm rơi cô si( bạn có thể tham khảo trên mạng).

Nếu thấy hay. Mình có 1 đề nghị nho nhỏ là: bạn chỉ mình cách gõ Latex đc ko, minh doc roi ma chi hieu gi ca. minh cam on nhieu 

dùng chức năng $Fx$ trong hộp soạn thảo từ đó tự mày mò là được 

[tritanngo99]

ma hen ra cai chi chi o, chu kho doc lam