Chủ đề này có 4 trả lời

[ngobaochau1704]

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a;b)$ sao cho $\frac{a^{2}-2}{ab+2}$ là số nguyên

[Element hero Neos]

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a;b)$ sao cho $\frac{a^{2}-2}{ab+2}$ là số nguyên

đây

[I Love MC]

đây

Lời giải của anh Hướng vẫn chưa chặt !! Xem lại

[Trung Kenneth]

Trước hết, xét a=1 thì b=-1 hoặc b=-3 không thỏa mãn b nguyên dương

Xét $a\geq 2$ Để $\frac{a^2-2}{ab+2} \epsilon Z$ thì $a^2 -2 \vdots ab+2$ => $b.(a^2-2)\vdots (ab+2)$

=> $\left [ a.(ab+2) - 2.(a+b) \right ]\vdots (ab+2)$

=> $2.(a+b) \vdots (ab+2)$

Đặt $2.(a+b) = k.(ab+2)$ với $k \varepsilon N*$

Nếu k=1 =>$2.(a+b)=ab+2$ => $(2-a).(2-b) = 2$ => $a-2 ; b-2 \epsilon Ư(2)$

=> $\left\{\begin{matrix} a= 3 & & \\ b=4 & & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a=4 & & \\ b=3 & & \end{matrix}\right.$

TH : a=3 và b=4 loại

Nếu $k\geq 2$  => $2.(a+b)\geq 2.(ab+2)$ => $(a-1).(b-1)+1\leq)$ điều này vô lí vì$a\geq 2$ và b nguyên dương nên $b\geq 1$

Vậy tìm được a=4 , b=3  

[Element hero Neos]

Lời giải của anh Hướng vẫn chưa chặt !! Xem lại

Có: $ab+2|a^{2}+2$

   $\Rightarrow ab+2|b(a^{2}-2)\Rightarrow ab+2|ba^{2}-2b\Rightarrow ab+2|(ba^{2}+2a)-(2a+2b)\Rightarrow ab+2|2(a+b)\Rightarrow 2(a+b)=k(ab+2)(k\in\mathbb{N^{*}})$

Với $k=1\Rightarrow 2(a+b)=ab+2\Rightarrow (a-2)(b-2)=2$, đến đây lập bảng tìm ra $a$ và $b$

Với $k>1 \Rightarrow 2(a+b)=k(ab+2)$, vô lý