Chủ đề này có 18 trả lời

[tquangmh]

Hiện nay, mình thấy phần Giá trị tuyệt đối này đang dần bị lãng quên, trong khi một số đề thi HSG giỏi hiện nay vẫn cho Giá trị tuyệt đối. Online trên diễn đàn, mình cũng không thường thấy mọi người  dùng hay nhắc đến nội dung cũng như ứng dụng của phần này, vì vậy, hôm nay mình lập ra một chủ đề Giá trị tuyệt đối để mọi người cùng thảo luận và bổ sung thêm kiến thức về vấn đề này. (Mình cũng mới đươc học kĩ mấy ngày qua  , nên việc tạo ra chủ đề này cugn4 để mình được học tập thêm từ mọi người. ).

 

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 

A. Định nghĩa. 

 

    *Định nghĩa 1 : Giá trị tuyệt đối của một số thực a, được kí hiệu là $\left | a \right |$ , là số đo của khoảng cách từ điểm a đến điểm gốc 0 trên trục số.

 

Tuy nhiên, từ Định nghĩa 1 ta không thể dùng nó để giải toán và lập ra các tính chất quan trọng của Giá trị tuyệt đối nên ta có một định nghĩa khác mở rộng hơn :

 

      *Định nghĩa 2 : Giá trị tuyệt đối của một biểu thức A, được kí hiệu là  $\left | A \right |$ được định nghĩa qua công thức :

$\left | A \right |=\left\{\begin{matrix} A,khiA \geq 0\\ -A,khiA<0 \end{matrix}\right.$

 

B. Tính chất.  

_ Từ định nghĩa 2, ta có các nhận xét : 

+) $\left | A \right |\geq 0$ (với mọi biểu thức A)

+) $\left | A \right |\geq A;"="\Leftrightarrow A\geq 0$

          1/ Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

_ Là phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

_ Cách giải :

+) Bỏ dấu Giá trị tuyệt đố bằng các điều kiện với biến.

+) Giải phương trình tìm được sau khi bỏ dấu Giá trị tuyệt đối.

+) Nghiệm của phương trình là các nghiệm thỏa điều kiện bỏ dấu Giá trị tuyệt đối. Kết luận.

 

*Một số Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có dạng đặc biệt

1/ Phương trình có dạng : $\left | f(x) \right |=a;(a>0)$

Cách giải : $\left | f(x) \right |=a;(a>0) \Leftrightarrow f(x)=a$ hoặc $f(x)=-a$

 

2/ Phương trình có dạng : $\left | f(x) \right |=\left | g(x) \right |$

Cách giải :  $\left | f(x) \right |=\left | g(x) \right | \Leftrightarrow f(x)=g(x)$ hoặc $f(x)=-g(x)$

             

              2/ Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

_ Là bất phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

_ Thông thường, ta gặp ba dạng và sau đây là cách giải :

1/ $\left | f(x) \right |>g(x) \Leftrightarrow f(x)>g(x)$ hoặc $f(x)< -g(x)$

2/ $\left | f(x) \right |<\left | g(x) \right |\Leftrightarrow [f(x)]^{2}<[g(x)]^2$ 

3/ $\left | f(x) \right | < g(x)$ $\Leftrightarrow -g(x)< f(x)< g(x)$

 

C. Bài tập.

 

*Bài 1 : Giải các phương trình sau ;

1/ $x^{2}-\left | x \right |-6=0$

2/ $\left | x-1 \right |+\left | x-4 \right |=3$

3/ $\left | \left | x-3 \right |-1 \right |=2$

4/ $\left | x^{2}-5x+6 \right |+\left | x^{2}-x-6 \right |=9$  

 

P/S : Khi mọi người đăng bài giải hay bình luận thì ghi rõ ràng, minh bạch. Không spam lên bài viết của mình. Mong mọi người hăng hái đóng góp bài viết. Mình xin cảm ơn  . Mình tìm đc trên mạng 1 link Giá trị tuyệt đối khà hay. http://thuviengiaoan...i-o-thcs-25542/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 14-03-2016 - 19:57

[ineX]

Xin đóng góp một số tính chất sau về giá trị tuyệt đối:

$\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right ||$

$\left | a-b \right |\geq \left | a \right |-\left | b \right |$

$\left | \frac{a+b}{2} \right |+\left | \frac{a-b}{2} \right |=\left \{ max\left | a \right |,\left | b \right | \right \}$

[ineX]

Bài 2:

VT=\left | x-1 \right |+\left | 4-x \right |\geq \left | x-1+4-x \right |=3=VP

Dấu bằng xảy ra khi $1\leq x\leq 4$

[royal1534]

 

 

 

*Bài 1 : Giải các phương trình sau ;

1/ $x^{2}-\left | x \right |-6=0$

 

1,Đặt $|x|=t \geq 0$

PT $\leftrightarrow t^2-t-6=0$

     $\leftrightarrow (t-3)(t+2)=0$

     $\leftrightarrow t=3$ (Vì $t \geq 0$)

     $\leftrightarrow |x|=3$

     $\leftrightarrow x=\pm 3$

[minhhien2001]

2. bài này khá dễ violympic còn thường ra:$\left | x-1 \right |+\left | x-4 \right |\Leftrightarrow \left | x-1 \right |+\left | 4-x \right |\geqslant \left | 3 \right |$. => PT có nghiệm  $\leqslant 1\leqslant x\leqslant 4$
3. => VP=2 . Rồi xét ra
4. chắc xét 4 trường hợp của x

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhien2001: 14-03-2016 - 09:29

[adamfu]

Nếu mình nhớ k nhầm thì

$\begin{vmatrix} a+b\\ \end{vmatrix}\geq \left | \left | a \right |-\left | b \right | \right |$

Một số pt đơn giản

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi adamfu: 14-03-2016 - 20:09

[tanthanh112001]

mình xin được đóng góp thêm bài này  :

Giải bpt : a) $\left | x-3 \right |>\frac{x+1}{2}$

               b)$\left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |> x+3$

[Element hero Neos]

mình xin được đóng góp thêm bài này  :

Giải bpt : a) $\left | x-3 \right |>\frac{x+1}{2}$              

Xét $2TH:$

   $TH_{1}: x\geq 3$

     Khi đó $BPT$ trở thành: $x-3>\frac{x+1}{2}\Leftrightarrow 2x-6> x+1\Leftrightarrow x>7$

   $TH_{2}: x<3$

     Khi đó $BPT$ trở thành: $3-x> \frac{x+1}{2}\Leftrightarrow 6-2x>x+1\Leftrightarrow x<\frac{5}{3}$

Vậy $x<\frac{5}{3}$ hoặc $x>7$ thì thoả mãn đề bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 14-03-2016 - 20:18

[minhhien2001]

Xét $2TH:$

   $TH_{1}: x\geq 3$

     Khi đó $BPT$ trở thành: $x-3>\frac{x+1}{2}\Leftrightarrow 2x-6> x+1\Leftrightarrow x>7$

   $TH_{2}: x<3$

     Khi đó $BPT$ trở thành: $3-x> \frac{x+1}{2}\Leftrightarrow 6-2x>x+1\Leftrightarrow x<\frac{5}{3}$

Vậy $x<\frac{5}{3}$ hoặc $x>7$ thì thoả mãn đề bài

câu b)  cao lắm thì xét 3TH là giải dc

[tquangmh]

câu b)  cao lắm thì xét 3TH là giải dc

 

anh giải ra dùm em luôn đi anh. 

 

*Bài 3 :

a/ Tìm GTNN của biểu thức sau : $A=\left | x+3 \right |+\left | x-2 \right |+5$

b/ Tìm GTNN của biểu thức sau : $E=\left | 5x+3 \right |+\left | 2x-3 \right |-x-1$

 

Giải

a/ 

*Cách 1 :

Ta có : $A=\left | x+3 \right |+\left | 2-x \right |+5$

Áp dụng Bất đẳng thức : $\left | A \right |+\left | B \right |\geq \left | A+B \right |$ , ta có :

$A\geq \left | x+3+2-x \right |+5=10$

$"="\Leftrightarrow (x+3)(2-x)\geq 0\Leftrightarrow -3\leq x\leq 2$

Vậy : $minA=10\Leftrightarrow -3\leq x\leq 2$

 

*Cách 2 :

Ta có : $A=\left | x+3 \right |+\left | 2-x \right |+5$

Áp dụng Bất đẳng thức : $\left | A \right |\geq A$

$.\left | x+3 \right |\geq x+3$

$.\left | 2-x \right |\geq 2-x$

$\Rightarrow A\geq x+3+2-x+5=10$

$"="\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+3\geq 0\\ 2-x\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -3\\ x\leq 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -3 \leq x \leq 2$

Vậy : $minA=10\Leftrightarrow -3\leq x\leq 2$

 

b/ $E=\left | 5x+3 \right |+\left | 2x-3 \right |-x-1 =5\left | x+\frac{3}{5} \right |+\left | 3-2x \right |-x-1 =2\left | x+\frac{3}{5} \right |+(\left | x+\frac{3}{5} \right |-x)+(2.\left | x+\frac{3}{5} \right |+\left | 3-2x \right |)-1 =2\left | x+\frac{3}{5} \right |+(\left | x+\frac{3}{5} \right |-x)+(\left | 2x+\frac{6}{5} \right |+\left | 3-2x \right |)-1$

 

Ta có : 

$.\left | x+\frac{3}{5} \right |\geq 0$

$\left | x+\frac{3}{5} \right |\geq x+\frac{3}{5}\Rightarrow \left | x+\frac{3}{5} \right |-x\geq x+\frac{3}{5}-x=\frac{3}{5}$

$.\left | 2x+\frac{6}{5} \right |+\left | 3-2x \right |\geq \left | 2x+\frac{6}{5}+3-2x \right |=\frac{21}{5}$

Nên : $E\geq 2.0+\frac{3}{5}+\frac{21}{5}-1=\frac{19}{5}$

$"="\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{3}{5}\geq 0\\(2x+\frac{6}{5})(3-2x)\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{-3}{5}$

Vậy : $minE=\frac{19}{5}\Leftrightarrow x=\frac{-3}{5}$

 

---

BÀI MỚI

 

 

*Bài 4 : Giải các phương trình hay bất phương trình sau :

a/ $\left | x^{2}+2\left | x-\frac{1}{2} \right | \right |=x^{2}+2$

 

b/ $\left | x^{2}\left | x+\frac{3}{4} \right | \right |=x^{2}$

 

c/ $\left | x-y+2 \right |+\left | 2y+1 \right |\leq 0$

 

d/ $2(x-5)^{4}+5\left | 2y-7 \right |^{5}=0$

 

e/ $\left | x+\frac{1}{2} \right |+\left | x+\frac{1}{6} \right |+\left | x+\frac{1}{12} \right |+...+\left | x+\frac{1}{9900} \right |=100x$

 

f/ (Biện luận phương trình theo tham số m). Phương trình : $\left | x+2 \right |+\left | x-1 \right |=m$

 

* Bài 5 : Cho : $\left | 2x-1 \right |+\left | x-3 \right |+\left | x+4 \right |-3x+4=0$ . Chứng minh $x\geq 2$

 

P/S : Phần bài giải bài 3 mình/em thấy những cách đó còn dài quá (nhất là câu 3b!). Mong các anh chị và mọi người chỉ cho em cách khác ngắn gọn hơn hoặc cho em 1 ý tưởng giải quyết nào đó khác với cách trên của mình

 

Hiện tại, mình có công việc trong trường nên chưa đăng đc nội dung lý thuyết phần Bất đẳng thức. Mong mọi người thông cảm. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 15-03-2016 - 10:01

[tquangmh]

Hic hic. Sao ko ai thảo luận hết trơn vậy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 15-03-2016 - 22:16

[tcm]

anh giải ra dùm em luôn đi anh. 

 

$|x - 1| + |x - 2| > x + 3$. Lập bảng xét GTTĐ, ta được 3 trường hợp:

TH1: $x < 1$ thì BPT trở thành: $1 - x + 2 - x > x + 3 \Leftrightarrow x < 0$ (thỏa)

TH2: $1 \leqslant x \leqslant 2$ thì BPT trở thành: $x - 1 + 2 - x > x + 3 \Leftrightarrow x < -2$ (vô nghiệm)

TH3: $x > 2$ thì BPT trở thành: $x - 1 + x - 2 > x + 3 \Leftrightarrow x > 6$ (thỏa)

Vậy $S = (-\infty ; 0) \cup (6; +\infty)$

[tcm]

Bài 4.a)

 

$|x^{2} + 2|x - \frac{1}{2}|| = x^{2} + 2$

$\Leftrightarrow x^{2} + 2|x - \frac{1}{2}| = x^{2} + 2$ hoặc $x^{2} + 2|x - \frac{1}{2}| = -x^{2} - 2$

$\Leftrightarrow |x - \frac{1}{2}| = 1$ hoặc $|x - \frac{1}{2}| = -(x^{2} + 1)$ (vô nghiệm)

$\Leftrightarrow x - \frac{1}{2} = 1$ hoặc $x - \frac{1}{2} = -1$

$\Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$ hoặc $x = -\frac{1}{2}$

Vậy $S = ${$\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}$}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcm: 28-04-2017 - 21:33

[tcm]

Bài 4.b)

 

$|x^{2}|x + \frac{3}{4}|| = x^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}|x + \frac{3}{4}| = x^{2}$ hoặc $x^{2}|x + \frac{3}{4}| = -x^{2}$ (vô nghiệm)

$\Leftrightarrow x + \frac{3}{4} = 1$ hoặc $x + \frac{3}{4} = -1$

$\Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$ hoặc $x = -\frac{7}{4}$

Vậy $S = ${$\frac{1}{4}; -\frac{7}{4}$}.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcm: 28-04-2017 - 21:40

[tcm]

Bài 4.c)

 

Từ BPT dễ thấy $x - y + 2 = 0 \Leftrightarrow x - y = -2$ và $2y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = -\frac{1}{2}$. Suy ra $x = -\frac{5}{2}$

Vậy $x = -\frac{5}{2}$ và $y = -\frac{1}{2}$.

 

Câu d) giải tương tự như câu c).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcm: 28-04-2017 - 21:45

[tcm]

Bài 4.e)

 

Dễ thấy vế trái luôn không âm nên vế phải cũng luôn không âm, suy ra $x \geqslant 0$. Từ $x \geqslant 0$ suy ra BPT có thể viết thành:

$(x + \frac{1}{2}) + (x + \frac{1}{6}) + (x + \frac{1}{12}) + ... + (x + \frac{1}{9900}) = 100x$

$\Leftrightarrow 99x + (\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + ... + \frac{1}{9900}) = 100x$

$\Leftrightarrow x = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$.

Vậy $S = ${$\frac{99}{100}$}.

[tcm]

Bài 4.f)

 

$|x + 2| + |x - 1| = m$

Nếu $m \leqslant 0$ thì PTVN.

        $m > 0$ thì có 3 trường hợp xảy ra (lập bảng GTTĐ):

        + TH1: $-2x - 1 = m \forall x < -2 \Leftrightarrow x < -2$ (vì $-\frac{m + 1}{2} < -\frac{1}{2}$)

        + TH2: $0x + 3 = m \forall -2 \leqslant x \leqslant 1$. Nếu $m = 3$ thì $-2 \leqslant x \leqslant 1$, ngược lại thì PTVN.

        + TH3: $2x + 1 = m \forall x > 1 \Leftrightarrow x > 1$ (vì $\frac{m - 1}{2} > -\frac{1}{2}$)

 

P/S: Bài biện luận này mình chưa chắc lắm, nếu có thể thì nhờ các bạn sửa lại giúp mình. Còn bài 5 thì giải PT tìm nghiệm rồi suy ra đpcm.

P/S 2: Conan giải như vậy Kid thấy hài lòng chưa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcm: 28-04-2017 - 22:16

[tcm]

Nhân tiện, mình cũng có một số bài, mọi người làm thử nhé.

 

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $|x + 5| - |1 - 2x| = x$

b) $|x - 2| + |x - 3| + |x - 4| = 2$

c) $4|3x - 1| + |x| - 2|x - 5| + 7|x - 3| = 12$

d) $3|x + 4| - |2x + 1| - 5|x + 3| + |x - 9| = 5$

e) $|x + \frac{1}{5}| + |x + \frac{1}{45}| + |x + \frac{1}{117}| + ... + |x + \frac{1}{159197}| = 101x$

f) $2|x - 3| + |2x + 5| = 11$

g) $|x^{2} - 9| + |x^{2} - 4| = 5$

h) $||4x - 2| - 3| - |x - 5| = 1$

i) $|x^{2} - 2x - 3| = |2x - 5| + 1$

k) $|3 - 2|x|| = |2 - x| - 3$

l) $|2|x - 10| - 5| + |2|x - 10| - 9| = 10$

 

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

a) $4|x - 1| + 3|x - 2| < 2|x - 3| + |x - 4|$

b) $||2x - 1| - 10| + 4 < 5$

c) $|-x^{2} + 4x - 4| \geqslant |x^{2} - 6x + 9|$

[tranthao06092k2]

tcm đăng đáp án ik bn