Chủ đề này có 1 trả lời

[qtvc]

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = a^2 + b^2 + c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 14-03-2016 - 10:48

[Quoc Tuan Qbdh]

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = a^2 + b^2 + c^2+ \frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

 

 Chú ý là từ điều kiện ta có $3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2$

 Áp dụng AM-GM thì $a^3+ab^2\geq 2a^2b,\ b^3+bc^2\geq 2b^2c,\ c^3+ca^2\geq 2c^2a$

 Từ đó suy ra $3(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq a^2b+b^2c+c^2a$

 Nên $P\geq a^2+b^2+c^2+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$

 Đặt $t=a^2+b^2+c^2$ thì $t\geq 3$ và $ab+bc+ca=\dfrac{9-t}{2}$

 Ta sẽ chứng minh $t+\dfrac{9-t}{2t}\geq 4\Leftrightarrow \dfrac{(t-3)(2t-3)}{2t}\geq 0$ đúng

 Nên $P\geq 4$

 Vậy GTNN của $P$ là $4$ khi và chỉ khi $a=b=c=1$