Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $9x^{2} + 16x^{2} \geq \frac{1}{18}$

chứng minh gtnn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Chi Miu

Chi Miu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 14-03-2016 - 13:01

1. Cho x,y là hai số thực thỏa mãn $9x + 12y = 1$. Chứng minh $9x^{2} + 16y^{2} \geq \frac{1}{18}$
2. Cho hai số dương x,y thỏa $x + y = 1$. Tìm GTNN của biểu thức $N = (1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chi Miu: 14-03-2016 - 13:25


#2 tanthanh112001

tanthanh112001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 315 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn $\boxed{\boxed{{\color{Red} \bigstar } \color{blue}{\text{CHUYÊN TOÁN}} {\color{Red} \bigstar }}}$

Đã gửi 14-03-2016 - 13:15

1. Cho x,y là hai số thực thỏa mãn $9x + 12y = 1$. Chứng minh $9x^{2} + 16x^{2} \geq \frac{1}{18}$

2. Cho hai số dương x,y thỏa $x + y = 1$. Tìm GTNN của biểu thức $N = (1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})$

xem lại đề bài 1 đi bạn ơi ! bđt cần c/m không có y


:ukliam2: TINH HOA CỦA TOÁN HỌC LÀ NẰM Ở SỰ TỰ DO CỦA NÓ. :ukliam2: 

---- Georg Cantor ----

 

996a71363a3740db895ba753827984fd.1.gif


#3 Chi Miu

Chi Miu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 14-03-2016 - 13:26

xem lại đề bài 1 đi bạn ơi ! bđt cần c/m không có y


Đã sửa! Cảm ơn

#4 tanthanh112001

tanthanh112001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 315 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn $\boxed{\boxed{{\color{Red} \bigstar } \color{blue}{\text{CHUYÊN TOÁN}} {\color{Red} \bigstar }}}$

Đã gửi 14-03-2016 - 13:56

Đã sửa! Cảm ơn

ok. bài 1 dễ : ta có : $9x+12y=1$ $\Rightarrow 9x=1-12y\Rightarrow 81x^{2}=1-24y+144y^{2}\Rightarrow 9x^{2}=\frac{1-24y+144y^{2}}{9}$     (1)

thay (1) vào $9x^{2}+16y^{2}$, ta được :

$9x^{2}+16y^{2}=\frac{1}{9}-\frac{8}{3}y+16y^{2}+16y^{2}$

                          $=32y^{2}-\frac{8}{3}y+\frac{1}{9}$

đến đây thì dễ rồi 


:ukliam2: TINH HOA CỦA TOÁN HỌC LÀ NẰM Ở SỰ TỰ DO CỦA NÓ. :ukliam2: 

---- Georg Cantor ----

 

996a71363a3740db895ba753827984fd.1.gif


#5 Trung Kenneth

Trung Kenneth

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Cao Xuân Huy
  • Sở thích:Thích gì cũng đc

Đã gửi 14-03-2016 - 16:40

Áp dụng BĐT Bunhia Coopsxki cho 2 bộ số (3;3) và (3x;4y) ta có:

$\left [ (3x)^2+(4y)^2 \right ].(3^2+3^2)\geq (9x+12y)^2\Rightarrow (9x^2+16y^2).18\geq 1\Rightarrow 9x^2+16y^2\geq \frac{1}{18}$



#6 chaubee2001

chaubee2001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT CHV Phú Thọ
  • Sở thích:Double-L

Đã gửi 14-03-2016 - 22:09

2. Cho hai số dương x,y thỏa $x + y = 1$. Tìm GTNN của biểu thức $N = (1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})$

Có: $N=\frac{x^2-1}{x^2}.\frac{y^2-1}{y^2}=\dfrac{(x-1)(y-1)(x+1)(y+1)}{x^2y^2}$
$=\dfrac{(-y)(-x)(x+x+y)(x+y+y)}{x^2y^2}\geq \dfrac{3.\sqrt{x^2y}.3\sqrt{xy^2}}{xy}=9$( $AM-GM$)
suy ra $N \geq 9$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
haizzz

#7 thaoyuki123

thaoyuki123

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:thích học toán, đọc sách

Đã gửi 23-03-2016 - 22:57

Ta có N = 1 - $\frac{1}{y^{2}}$ - $\frac{1}{x^{2}}$ + $\frac{1}{x^{2}y^{2}}$

              = 1 - ($\frac{1}{x^{2}}$ + $\frac{1}{y^{2}}$ - $\frac{1}{x^{2}y^{2}}$)

              = 1 - $\frac{x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}y^{2}}$ = 1 - $\frac{-2xy}{x^{2}y^{2}}$ = 1 + $\frac{2}{xy}$

Để N đạt Min thì xy phải có GTLN

$\Rightarrow$Max xy = $\frac{1}{4}$

$\Rightarrow$N$\geq$1 + 8 = 9

Vậy Min N = 9 khi x = y = $\frac{1}{2}$







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh