Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $9x^{2} + 16x^{2} \geq \frac{1}{18}$

chứng minh gtnn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Chi Miu

Chi Miu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết
1. Cho x,y là hai số thực thỏa mãn $9x + 12y = 1$. Chứng minh $9x^{2} + 16y^{2} \geq \frac{1}{18}$
2. Cho hai số dương x,y thỏa $x + y = 1$. Tìm GTNN của biểu thức $N = (1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chi Miu: 14-03-2016 - 13:25


#2
tanthanh112001

tanthanh112001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 315 Bài viết

1. Cho x,y là hai số thực thỏa mãn $9x + 12y = 1$. Chứng minh $9x^{2} + 16x^{2} \geq \frac{1}{18}$

2. Cho hai số dương x,y thỏa $x + y = 1$. Tìm GTNN của biểu thức $N = (1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})$

xem lại đề bài 1 đi bạn ơi ! bđt cần c/m không có y


:ukliam2: TINH HOA CỦA TOÁN HỌC LÀ NẰM Ở SỰ TỰ DO CỦA NÓ. :ukliam2: 

---- Georg Cantor ----

 

996a71363a3740db895ba753827984fd.1.gif


#3
Chi Miu

Chi Miu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

xem lại đề bài 1 đi bạn ơi ! bđt cần c/m không có y


Đã sửa! Cảm ơn

#4
tanthanh112001

tanthanh112001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 315 Bài viết

Đã sửa! Cảm ơn

ok. bài 1 dễ : ta có : $9x+12y=1$ $\Rightarrow 9x=1-12y\Rightarrow 81x^{2}=1-24y+144y^{2}\Rightarrow 9x^{2}=\frac{1-24y+144y^{2}}{9}$     (1)

thay (1) vào $9x^{2}+16y^{2}$, ta được :

$9x^{2}+16y^{2}=\frac{1}{9}-\frac{8}{3}y+16y^{2}+16y^{2}$

                          $=32y^{2}-\frac{8}{3}y+\frac{1}{9}$

đến đây thì dễ rồi 


:ukliam2: TINH HOA CỦA TOÁN HỌC LÀ NẰM Ở SỰ TỰ DO CỦA NÓ. :ukliam2: 

---- Georg Cantor ----

 

996a71363a3740db895ba753827984fd.1.gif


#5
Trung Kenneth

Trung Kenneth

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết

Áp dụng BĐT Bunhia Coopsxki cho 2 bộ số (3;3) và (3x;4y) ta có:

$\left [ (3x)^2+(4y)^2 \right ].(3^2+3^2)\geq (9x+12y)^2\Rightarrow (9x^2+16y^2).18\geq 1\Rightarrow 9x^2+16y^2\geq \frac{1}{18}$



#6
chaubee2001

chaubee2001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

2. Cho hai số dương x,y thỏa $x + y = 1$. Tìm GTNN của biểu thức $N = (1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})$

Có: $N=\frac{x^2-1}{x^2}.\frac{y^2-1}{y^2}=\dfrac{(x-1)(y-1)(x+1)(y+1)}{x^2y^2}$
$=\dfrac{(-y)(-x)(x+x+y)(x+y+y)}{x^2y^2}\geq \dfrac{3.\sqrt{x^2y}.3\sqrt{xy^2}}{xy}=9$( $AM-GM$)
suy ra $N \geq 9$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
haizzz

#7
thaoyuki123

thaoyuki123

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Ta có N = 1 - $\frac{1}{y^{2}}$ - $\frac{1}{x^{2}}$ + $\frac{1}{x^{2}y^{2}}$

              = 1 - ($\frac{1}{x^{2}}$ + $\frac{1}{y^{2}}$ - $\frac{1}{x^{2}y^{2}}$)

              = 1 - $\frac{x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}y^{2}}$ = 1 - $\frac{-2xy}{x^{2}y^{2}}$ = 1 + $\frac{2}{xy}$

Để N đạt Min thì xy phải có GTLN

$\Rightarrow$Max xy = $\frac{1}{4}$

$\Rightarrow$N$\geq$1 + 8 = 9

Vậy Min N = 9 khi x = y = $\frac{1}{2}$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: chứng minh, gtnn

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh