Chủ đề này có 3 trả lời

[Tran Thanh Truong]

Cho ba số $a,b,c\geq 0$ (a,b,c không đồng thời bằng 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của: 

$\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}$

[quoccuonglqd]

Áp dụng AM-GM $\frac{3(a+b+c)}{a}=3\frac{b+c}{a}+3\geqslant 4\sqrt[4]{\frac{3(b+c)}{a}}$

$\Rightarrow \frac{3}{4}\frac{a+b+c}{a}\geqslant \sqrt[4]{\frac{3(b+c)}{a}}$

$\Rightarrow \sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}\geqslant \frac{4}{\sqrt[4]{27}}\frac{a}{a+b+c}$

Tương tự ta thu được $\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}\geqslant \frac{4}{\sqrt[4]{27}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 14-03-2016 - 20:40

[Tran Thanh Truong]

 

Áp dụng AM-GM $\frac{3(a+b+c)}{a}=3\frac{b+c}{a}+3\geqslant 4\sqrt[4]{\frac{3(b+c)}{a}}$

$\Rightarrow \frac{3}{4}\sqrt[4]{\frac{b+c}{a}}\geqslant \sqrt[4]{\frac{3(b+c)}{a}}$

$\Rightarrow \sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}\geqslant \frac{4}{\sqrt[4]{27}}\frac{a}{a+b+c}$

Tương tự ta thu được $\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}\geqslant \frac{4}{\sqrt[4]{27}}$

 

Tại sao lại nghĩ ra việc đánh giá như thế này bạn ? Mà trong khi đó ta không đoán được điểm rơi ?

[quoccuonglqd]

Mình từng làm 1 bài thế này $(\frac{a}{b+c})^{n}+(\frac{b}{c+a})^{n}+(\frac{c}{a+b})^{n}\geqslant max(2,\frac{3}{2^{n}})$ với $n \in (0,1)$

Nhưng đây là chứng minh nên mình không chú ý về điểm cực trị,nhưng đối với bài tìm cực trị như thế này thì có lẽ không ổn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 17-03-2016 - 08:56