Chủ đề này có 6 trả lời

[githenhi512]

Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $7(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})=6(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+2015$

  Tìm Min: P=$\frac{1}{\sqrt{3(2a^{2}+b^{2})}}+\frac{1}{\sqrt{3(2b^{2}+c^{2})}}+\frac{1}{\sqrt{3(2c^{2}+a^{2})}}$

Bài 2: Cho x,y là 2 số thực dương t/m x+y$\geq$3. Chứng minh: 

       $x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\geq \frac{9}{2}$.

Bài 3: Cho a,b,c>0 t/m: a² +b² +c² =3. Tìm Min $P= 2(a+b+c)+ (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$.

Bài 4: Cho a,b $\geq$0 t/m a² +b² =4. Tìm Max: M=$\frac{ab}{a+b+2}$.

Bài 5: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn $2x+y+\sqrt{5x^{2}+5y^{2}}=10$. CM: x⁴ y$\leq$ 16.

Bài 6: Cho a,b là các số thực dương. CM:

   $(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{2}) \geq 2(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})$.

Bài 7: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CM:

  $\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b-c}} \geq \sqrt{\frac{b+c-a}{a}}+\sqrt{\frac{c+a-b}{b}}+\sqrt{\frac{a+b-c}{c}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 14-03-2016 - 23:12

[thaoyuki123]

bài 6 hình như sai đề lẽ ra phải là (1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)............

[I Love MC]

6) Ta có $(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+frac{c}{b}+\frac{b}{c}+2$ 
BĐT chứng minh $\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+3 \ge 3+\frac{\sum 2a}{\sqrt[3]{abc}}$ 
$\Leftrightarrow  \sum a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}) \ge \frac{\sum 3a}{\sqrt[3]{abc}} \ge \frac{\sum 2a+3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{abc}}$ (đúng do $a+b+c \ge \sqrt[3]{abc}$) 
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 15-03-2016 - 14:13

[nguyenthinguyet]

bài 3 lm thế nào vậy các bn

[Namthemaster1234]

bài 3 lm thế nào vậy các bn

 

Dùng $p,q,r $ thì theo giả thiết : $p^2-2q=3$.

 

Ta có:  $3pr \leq q^2$ hay $\frac{q}{r} \geq \frac{3p}{q}=\frac{6p}{p^2-3}$. Suy ra

 

$P=2p+\frac{q}{r} \geq 2p + \frac{6p}{p^2-3}$

 

Ta sẽ chứng minh $2p + \frac{6p}{p^2-3} \geq 9$

 

Điều này tương đương với : $(p-3)^2(2p+3) \geq 0$, luôn đúng

 

Vậy min là 9

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 13-07-2016 - 21:08

[PlanBbyFESN]

Bài 2: Cho x,y là 2 số thực dương t/m x+y$\geq$3. Chứng minh: 

       $x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\geq \frac{9}{2}$.

Bài 3: Cho a,b,c>0 t/m: a² +b² +c² =3. Tìm Min $P= 2(a+b+c)+ (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$.

Bài 4: Cho a,b $\geq$0 t/m a² +b² =4. Tìm Max: M=$\frac{ab}{a+b+2}$.

Bài 5: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn $2x+y+\sqrt{5x^{2}+5y^{2}}=10$. CM: x⁴ y$\leq$ 16.

Bài 6: Cho a,b là các số thực dương. CM:

   $(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{2}) \geq 2(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})$.

 

 

Bài 2:

Cauchy-Schwarz & Am-Gm:

 

$x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}= \frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}+(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y})\geq \frac{3}{2}+\frac{x+y}{2}+\frac{9}{2(x+y)}\geq \frac{9}{2}$

Bài 3: 

Bài này có 1 cách AM-GM và 1 cách UTC nữa! (Đề thi PTTH chuyên Thái Bình 2015-2016)

Bài 4:

 

Chia cả tử cả mẫu cho ab rồi dùng AM-GM với C-S

Bài 5:

AM-Gm & Cauchy-Schwarz:

 

$10=2x+y+\sqrt{5x^{2}+5y^{2}}=2x+y+\sqrt{(4+1)(x^{2}+y^{2})}\geq 2x+y+2x+y\geq 2(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y)\geq 2.5\sqrt[5]{\frac{x^{4}y}{16}}\Rightarrow 16\geq x^{4}y$

Bài 6:

Dùng bài toán quen thuộc này thôi:  $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

[Lovemath111]

Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $7(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})=6(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+2015$

  Tìm Min: P=$\frac{1}{\sqrt{3(2a^{2}+b^{2})}}+\frac{1}{\sqrt{3(2b^{2}+c^{2})}}+\frac{1}{\sqrt{3(2c^{2}+a^{2}

Ta có:

$6(\sum \frac{1}{ab})+2015=7(\sum \frac{1}{a^2})\geq \frac{7}{3}.(\sum \frac{1}{a})^2$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a}\leq \frac{9+\sqrt{6126}}{7}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$\sqrt{3(2a^2+b^2)}\geq 2a+b$

Tương tự ta suy ra:

$P\leq \sum \frac{1}{2a+b}\leq \frac{1}{3}.(\sum \frac{1}{a})\leq \frac{9+\sqrt{6126}}{21}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lovemath111: 18-07-2016 - 14:30