Chủ đề này có 4 trả lời

[tungteng532000]

a,b,c>0.Chứng minh:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 15-03-2016 - 00:22

[quoccuonglqd]

Áp dụng Holder :$(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})^{2}[a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)]\geqslant (a+b+c)^{3}$

Ta cần chứng minh $\frac{(a+b+c)^{3}}{\frac{c}{a+b}})^{2}[a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)}\geqslant \frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

Đặt $ab+bc+ca=q,abc=r$ bất đẳng thức tương đương $(q-r)(3-q)\geqslant 0$(luôn đúng)

[tungteng532000]

 

Áp dụng Holder :$(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})^{2}[a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)]\geqslant (a+b+c)^{3}$

Ta cần chứng minh $\frac{(a+b+c)^{3}}{\frac{c}{a+b}})^{2}[a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)}\geqslant \frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

Đặt $ab+bc+ca=q,abc=r$ bất đẳng thức tương đương $(q-r)(3-q)\geqslant 0$(luôn đúng)

 

Lời giải của mình :)
Bđt $\Leftrightarrow \sum \sqrt{a(a+b)(a+c)}\geq \sqrt{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}$
Ta có: $\sum \sqrt{a(a+b)(a+c)}=\sum \sqrt{a^2(a+b+c)+abc}\geq \sqrt{(\sum a(\sqrt{a+b+c}))^2+(3\sqrt{abc})^2}=\sqrt{(a+b+c)^3+9abc}\geq \sqrt{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}$  (bđt Schur)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

[quoccuonglqd]

Xin lỗi bài ở trên của mình sai

Áp dung Holder $(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})^{2}(\sum \frac{b+c}{a}(a+2b+2c)^{2})\geqslant 5^{3}(a+b+c)^{3}$

Bất đẳng thức trở thành $\frac{5^{3}(a+b+c)^{3}}{\sum \frac{b+c}{a}(a+2b+2c)^{2}}\geqslant \frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

Đặt $ab+bc+ca=q,abc=r$

Ta cần chứng minh $q^{2}(7776+396r)-q(25677r-36r^{2})+3375r^{2}\leqslant 0$

Xét $f'(q)\leqslant 0$ nên $f(q)\leqslant f(3r)$ ($q\geqslant 3r$)

Thay $q=3r$ ta có hàm $f(q)=g(r)\leqslant 0$) với $r\leqslant 1$

Từ đay có dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 16-03-2016 - 20:52

[quoccuonglqd]

Chuẩn hóa $ab+bc+ca=1$

Bất đẳng thức trở thành $\sqrt{a^{3}+a}+\sqrt{b^{3}+b}+\sqrt{c^{3}+c}\geqslant 2\sqrt{a+b+c}$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+2\sum (a+b)\sqrt{ab(a+c)(b+c)}\geqslant 3(a+b+c)=3\sum ab(a+b)+9abc$

Áp dụng C-S $(a+b)\sqrt{ab(a+c)(b+c)}\geqslant (a^{2}b+2abc+ab^{2})^{2}$

Tương tự ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geqslant \sum a^{2}b+\sum ab^{2}$(luôn đúng theo Schur)