Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi HSG lớp 9 năm học 2015-2016 tỉnh Phú Thọ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 20 trả lời

#1
chaubee2001

chaubee2001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

ĐỀ THI HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016 TỈNH PHÚ THỌ
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN: 150 PHÚT

Câu 1(3 điểm):
a) Cho $S=1.2.3+2.3.4+...+n(n+1)(n+2)$ với $n$ là số tự nhiên khác 0.
Chứng minh rằng $4S+1$ là số chính phương.
b) Tìm các số nguyên $x,y$ thoả mãn $x^2+2y^2+2xy=y+2$.
Câu 2( 4 điểm):
a) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{x^5-4x^3-17x+9}{x^4+3x^2+2x+11}$ với $\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{1}{4}$
b) Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=5$ và $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3$
Chứng minh rằng $\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{4}{\sqrt{(a+2)(b+2)(c+2)}}$
Câu 3(4 điểm):
a) Giải phương trình: $(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3$
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}2x^2-y^2+xy+y-5x+2=0\\ x^2+y^2+x+y-4=0\end{matrix}\right.$
Câu 4( 7 điểm):
Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB=2R$. Gọi $M$ là điểm bất kỳ thuộc $(O)$ ( $M$ khác $A$ và $B$). Các tiếp tuyến với $(O)$ tại $A$ và $M$ cắt nhau tại $E$. Vẽ $MP \perp AB$ ( $P \in AB$). Vẽ $MQ \perp AE$ ( $Q \in AE$).
a) Chứng minh rằng tứ giác $AEMO$ là tứ giác nội tiếp và $APMQ$ là hình chữ nhật.
b) Chứng minh $PQ,OE,MA$ đồng quy.
c) Gọi K là giao của $EB$ và $MP$. Chứng minh rằng $K$ là trung điểm của $MP$.
d) Đặt $AP=x$, tính $MP$ theo $R,x$. Tìm vị trí điểm $M$ trên $(O)$ để hình chữ nhật $APMQ$ có diện tích lớn nhất.
Câu 5(2 điểm): Cho $a,b,c$ phân biệt. Chứng minh rằng:
$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}) \geq \frac{9}{2}$


haizzz

#2
tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết

ĐỀ THI HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016 TỈNH PHÚ THỌ
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN: 150 PHÚT

Câu 1(3 điểm):
a) Cho $S=1.2.3+2.3.4+...+n(n+1)(n+2)$ với $n$ là số tự nhiên khác 0.
Chứng minh rằng $4S+1$ là số chính phương.
b) Tìm các số nguyên $x,y$ thoả mãn $x^2+2y^2+2xy=y+2$.

Làm câu dễ nhất! :))

a) Dễ chứng minh: $S=1.2.3+2.3.4+\cdots +n(n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$

$\Rightarrow 4S+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(n^2+3n+1)^2$ là SCP.

b) $PT\Leftrightarrow 2y^2+(2x-1)y+(x^2-2)=0$. Để PT có nghiệm thì:

$$\Delta _y=(2x-1)^2-8(x^2-2)\geq 0\Leftrightarrow -4x^2-4x+17\geq 0\Leftrightarrow -2\leq x\leq 1\Rightarrow x\in \left \{ -2;-1;0;1 \right \}$$

  rồi xét từng TH.

 

P/S: Anh làm tốt chứ?


$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#3
phamhuy1801

phamhuy1801

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết

Đề khá nhiều câu quen thuộc :)

Câu 1:

b, $PT \Leftrightarrow (x+y)^2=y+2-y^2 \Rightarrow y+2 \ge y^2 \Rightarrow -1 \le y \le 2$

Câu 2: 

b, Từ giả thiết dễ dàng có $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=2$, đến đây chỉ việc thế vào mẫu.

Câu 3:

a, $PT \Leftrightarrow \left [ 2\sqrt{2x^{2}+1}-(2x-1) \right ]\left [ 2\sqrt{2x^{2}+1}-(x+2) \right ]=0$

b, $PT(1):$ $(x+y-2)(2x-y-1)=0 $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 16-03-2016 - 12:56


#4
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Câu 5 : Bổ đề : Với $a,b,c$ phân biệt thì $\sum (\frac{a+b}{a-b})^2 \ge 2$ 
Gợi ý : $\sum \frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}=-1$ 
Từ đó ta có $\sum \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)^2}=\sum (\frac{a+b}{a-b})^2+3 \ge 5$ 
Ta có đẳng thức : $(\frac{a}{b-c}+1)(\frac{b}{c-a}+1)(\frac{c}{a-b}+1)=(\frac{a}{b-c}-1)(\frac{b}{c-a}-1)(\frac{c}{a-b}-1)$ 
$\Rightarrow \sum \frac{ab}{(b-c)(c-a)}=-1$ 
Suy ra $VT_{cần chứng minh}=(\sum \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2})+\sum \frac{a^2}{(c-b)^2} \ge \frac{5}{2}+(-2)(\sum \frac{ab}{(b-c)(c-a)}=\frac{9}{2}$



#5
chaubee2001

chaubee2001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

Làm câu dễ nhất! :))

a) Dễ chứng minh: $S=1.2.3+2.3.4+\cdots +n(n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$

$\Rightarrow 4S+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(n^2+3n+1)^2$ là SCP.

b) $PT\Leftrightarrow 2y^2+(2x-1)y+(x^2-2)=0$. Để PT có nghiệm thì:

$$\Delta _y=(2x-1)^2-8(x^2-2)\geq 0\Leftrightarrow -4x^2-4x+17\geq 0\Leftrightarrow -2\leq x\leq 1\Rightarrow x\in \left \{ -2;-1;0;1 \right \}$$

  rồi xét từng TH.

 

P/S: Anh làm tốt chứ?

anh làm như cc lun :))
tự nhiên làm kém qá

 cách khác cho $(b)$

$pt \Leftrightarrow 4x^2+8y^2+8xy-4y=8$

$\Leftrightarrow (2x+2y)^2+(2y-1)^2=9$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaubee2001: 16-03-2016 - 14:38

haizzz

#6
thaibuithd2001

thaibuithd2001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

câu hình a) , b) thì đơn giản , câu c) đã giải ở đây http://diendantoanho...db-thẳng-hàng/ 

câu c) :$MP=\sqrt{x(2R-x)}$ 

             $S_{APMQ}$=$2S_{AMP}$=$AP.MP$=$x.\sqrt{x(2R-x)}$=$\sqrt{x^3(2R-x)}$=$\sqrt{27}$.$\sqrt{$\frac{x}{3}$.$\frac{x}{3}$.$\frac{x}{3}$.$(2R-x)$}$$ $\leq$ $\sqrt{27}.\frac{(\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{3}+2R-x)^{2}}{16}$=$\sqrt{27}.\frac{R^2}{4}$ đến đây thì dễ rồi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaibuithd2001: 17-03-2016 - 06:46


#7
ngochapid

ngochapid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

câu hình a) , b) thì đơn giản , câu c) đã giải ở đây http://diendantoanho...db-thẳng-hàng/ 

câu c) :$MP=\sqrt{x(2R-x)}$ 

             $S_{APMQ}$=$2S_{AMP}$=$AP.MP$=$x.\sqrt{x(2R-x)}$=$\sqrt{x^3(2R-x)}$=$\sqrt{27}.\sqrt{\frac{x}{3}.\frac{x}{3}.\frac{x}{3}.(2R-x)}$ $\leq$ $\sqrt{27}.\frac{(\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{3}+2R-x)^{2}}{16}$=$\sqrt{27}.\frac{R^2}{4}$ đến đây thì dễ rồi

chỉnh lại latex được không ạ? 



#8
marcoreus101

marcoreus101

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 235 Bài viết

Câu 3b

$PT(1)\Leftrightarrow 2x^2+x(y-5)-y^2+y+2=0$

Coi pt như pt bậc 2 ẩn $x$ thì $\Delta =(3x-3)^2$, dễ biểu diễn $x$ theo $y$ rồi thay vào $PT(2)$

Tưởng chưa ai làm :(

Mà đề Phú Thọ năm nay dễ nhỉ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi marcoreus101: 16-03-2016 - 19:29


#9
chmod

chmod

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết

Câu 5 : Bổ đề : Với $a,b,c$ phân biệt thì $\sum (\frac{a+b}{a-b})^2 \ge 2$ 
Gợi ý : $\sum \frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}=-1$ 
Từ đó ta có $\sum \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)^2}=\sum (\frac{a+b}{a-b})^2+3 \ge 5$ 
Ta có đẳng thức : $(\frac{a}{b-c}+1)(\frac{b}{c-a}+1)(\frac{c}{a-b}+1)=(\frac{a}{b-c}-1)(\frac{b}{c-a}-1)(\frac{c}{a-b}-1)$ 
$\Rightarrow \sum \frac{ab}{(b-c)(c-a)}=-1$ 
Suy ra $VT_{cần chứng minh}=(\sum \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2})+\sum \frac{a^2}{(c-b)^2} \ge \frac{5}{2}+(-2)(\sum \frac{ab}{(b-c)(c-a)}=\frac{9}{2}$

Cách của bạn khá phức tạp , bài này còn cách ngắn gọn hơn

do vai trò $a,b,c$ là như nhau không mất tính tổng quát $a>b>c$  ta suy ra $a-b>0,b-c>0$ 

 

$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq \frac{2}{(a-b)(b-c)}\geq \frac{2}{\frac{(a-b+b-c)^2}{4}}=\frac{8}{(a-c)^2}=\frac{8}{(c-a)^2}$

 

$\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{(c-a)^2}$

 

vậy VT $\geq (a^2+b^2+c^2)\frac{9}{(c-a)^2}$    , chứng minh kết thúc nếu chỉ ra $(a^2+b^2+c^2)\frac{9}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{2}$

$ \Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq (c-a)^2\Leftrightarrow (a+c)^2+2b^2\geq 0$    luôn đúng ,, dấu = xảy ra khi $a+c=0, b=0$ và các hoán vị


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chmod: 16-03-2016 - 19:52


#10
marcoreus101

marcoreus101

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 235 Bài viết

Cách của bạn khá phức tạp , bài này còn cách ngắn gọn hơn

do vai trò $a,b,c$ là như nhau không mất tính tổng quát $a>b>c$  ta suy ra $a-b>0,b-c>0$ 

 

$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq \frac{2}{(a-b)(b-c)}\geq \frac{2}{\frac{(a-b+b-c)^2}{4}}=\frac{8}{(a-c)^2}=\frac{8}{(c-a)^2}$

 

$\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{(c-a)^2}$

 

vậy VT $\geq (a^2+b^2+c^2)\frac{9}{(c-a)^2}$    , chứng minh kết thúc nếu chỉ ra $(a^2+b^2+c^2)\frac{9}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{2}$

$ \Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq (c-a)^2\Leftrightarrow (a+c)^2+2b^2\geq 0$    luôn đúng ,, dấu = xảy ra khi $a+c=0, b=0$ và các hoán vị

Mình có cách khác như thế này

Chú ý rằng $a^2+b^2+c^2=\frac{(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}\geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}$

Bài toán quy về dạng $\sum (a-b)^2.\sum \frac{1}{(a-b)^2}\geq \frac{27}{2}$

Không mất tính tổng quát giả sử $a>b>c$ 

Đặt $x=a-b;y=b-c$ thì $c-a=-(x+y)$ với $(x,y>0)$

Bất đẳng thức trở thành $[x^2+y^2+(x+y)^2][\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2}]\geq \frac{27}{2}$

Tới đây dễ dàng có $VT\geq \frac{3}{4}(x+y)^2.\frac{9}{(x+y)^2}=\frac{27}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi marcoreus101: 17-03-2016 - 12:00


#11
TranQuocLap

TranQuocLap

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

câu hình a) , b) thì đơn giản , câu c) đã giải ở đây http://diendantoanho...db-thẳng-hàng/ 

câu c) :$MP=\sqrt{x(2R-x)}$ 

             $S_{APMQ}$=$2S_{AMP}$=$AP.MP$=$x.\sqrt{x(2R-x)}$=$\sqrt{x^3(2R-x)}$=$\sqrt{27}.\sqrt{\frac{x}{3}.\frac{x}{3}.\frac{x}{3}.(2R-x)}$ $\leq$ $\sqrt{27}.\frac{(\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{3}+2R-x)^{2}}{16}$=$\sqrt{27}.\frac{R^2}{4}$ đến đây thì dễ rồi

a cho e hỏi là tới chỗ $\sqrt{x^{3}\left ( 2R-x \right )}$ thì làm như thế nào tiếp ạ, e làm tới chỗ Rx thì dừng, ko biết làm ntn tiếp, chắc ko dùng $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq ab$ được


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TranQuocLap: 16-03-2016 - 22:58


#12
tranductucr1

tranductucr1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Câu 5(2 điểm): Cho $a,b,c$ phân biệt. Chứng minh rằng:
$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}) \geq \frac{9}{2}$

Câu 5 : cách này t nghỉ khá là đơn giản :v 
k mất tính tổng quát giả sử $c=min(a,b)$
=> $(a^2+b^2+c^2) *\sum \frac{1}{(a-b)^2} \geq  ((a-c)^2 +(b-c)^2)*\sum \frac{1}{(a-c)^2}$
đặt $x=a-c;y=b-c$ 
$P \geq (x^2+y^2)*(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x-y)^2}) = \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+\frac{x^2+y^2}{(x-y)^2}+2 \geq 2+2+\frac{1}{2} =\frac{9}{2}$ ( Vì $\frac{x^2+y^2}{(x-y)^2} \geq \frac{1}{2}$ và $\frac{x^2}{y^2} +\frac{y^2}{x^2} \geq 2$ )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 17-03-2016 - 11:15

Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường

Roronoa Zoro- One piece

Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065  


#13
TranQuocLap

TranQuocLap

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

còn câu diện tích có ai làm đc ko ạ?



#14
Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết

a cho e hỏi là tới chỗ $\sqrt{x^{3}\left ( 2R-x \right )}$ thì làm như thế nào tiếp ạ, e làm tới chỗ Rx thì dừng, ko biết làm ntn tiếp, chắc ko dùng $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq ab$ được

Mình trình bày lại cho rõ :icon6:

Hình gửi kèm

  • Untitled.png


#15
duong7cvl

duong7cvl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết
Ai làm 3a chưa?

"™ I will be the best ™"

                              ______Wukong, League Of Legends


#16
chmod

chmod

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết

Ai làm 3a chưa?

phương trình $2(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=10x^2+3x-6$

 

$4(2x^2-1)+2x^2+3x-2-2(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=0$    đặt  $\sqrt{2x^2-1}=t$   ta được   $4t^2+2x^2+3x-2-2(3x+1)t=0$

 

$(2t-2x+1)(2t-x-2)=0$



#17
TranQuocLap

TranQuocLap

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Mình trình bày lại cho rõ :icon6:

Cảm ơn  :lol:  :biggrin:  :lol:



#18
nhanvat

nhanvat

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết

Câu 2a:

 

Ta có: $\frac{x}{x^{2} + x +1} = \frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow 4x = x^{2} + x+1 \Leftrightarrow x^{2} = 3x-1$

 

$\Rightarrow x^{3} = x^{2}.x=8x-3$

 

Tương tự: $x^{4} = 21x-8$   ;   $x^{5} = 55x-21$

 

Thay x vào biểu thức P, rút gọn dần dần, tính được P= $\frac{3}{16}$

 

Câu này dễ ^_^



#19
Quynh Nga

Quynh Nga

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đề khá nhiều câu quen thuộc :)

Câu 1:

b, $PT \Leftrightarrow (x+y)^2=y+2-y^2 \Rightarrow y+2 \ge y^2 \Rightarrow -1 \le y \le 2$

Câu 2: 

b, Từ giả thiết dễ dàng có $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=2$, đến đây chỉ việc thế vào mẫu.

Câu 3:

a, $PT \Leftrightarrow \left [ 2\sqrt{2x^{2}+1}-(2x-1) \right ]\left [ 2\sqrt{2x^{2}+1}-(x+2) \right ]=0$

b, $PT(1):$ $(x+y-2)(2x-y-1)=0 $

cho mình hỏi câu 2 ý b thay vào mẫu rồi làm thế nào bạn????



#20
Thaicristiano

Thaicristiano

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

phương trình $2(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=10x^2+3x-6$

$4(2x^2-1)+2x^2+3x-2-2(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=0$ đặt $\sqrt{2x^2-1}=t$ ta được $4t^2+2x^2+3x-2-2(3x+1)t=0$(tu dat)

$(2t-2x+1)(2t-x-2)=0$

(den day)
minh hoc hoi dot nen ko hieu lam mong ban lam ro ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thaicristiano: 27-11-2016 - 10:14





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh