Đến nội dung

Hình ảnh

Curtis McMullen và động học phức

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
Trong topic này tôi muốn trình bày đôi điều về nhà toán học McMullen. Vì vừa viết vừa thu thập thông tin nên các bài viết sẽ không được liên tục. Topic này cũng trình bày sơ lược về động học phức.

1) Khái niệm mở đầu về động học phức:

Động học phức (complex dynamics) nghiên cứu sự biến đổi của một dãy hàm phức. Thường gặp nhất là bài toán nghiên cứu sự biến đổi của một dãy lặp của một hàm:

Cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(z)=z^2+c?

Mặc dù các hàm số ở trên (gắn liền với tên tuổi Mandelbrot) chỉ là những đa thức bậc 2 đơn giản nhưng nhiều tính chất của những hàm như thế vẫn được giữ nguyên cho những hàm đa thức.

Một đối tượng mà chúng ta rất quen thuộc là hình móng ngựa rất quan trọng trong động học và có tên riêng của nó.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#2
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
2) Định lý đều hóa:

Định lý đều hóa được phát biểu như sau:
Nếu M là một đa tạp phức 1 chiều thì universal covering space của M là một trong các không gian sau:

_C. Metric tự nhiên trên C là metric thông thường (Euclide) trên C http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\hat{C} là compact và có thể thấy dễ dàng bằng cách biểu diễn nó bằng mặt cầu Riemann http://dientuvietnam...imetex.cgi?S^2. Metric tự nhiên trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\hat{C} có curvature hằng 1. Trường hợp này M gọi là elliptic.

_http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?D=\{z:~|z|<1\}. Metric tự nhiên trên D là metric Poincare có độ cong hằng -1. Trường hợp này M gọi là hyperbolic.

Lưu ý rằng nói chung thì M sẽ là hyperbolic. Ví dụ nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\hat{C} và M là hyperbolic thì f là hằng số. Đặc biệt nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?ds^2=\dfrac{d|z|^2}{1-|z|^2} (z=x+iy). (Thực ra ta phải nhân thêm trong metric này một nhân tử hằng số để cho độ cong là -1).

Với metric này thì . Để tính khoảng cách từ hai điểm a, b tùy ý ta xét và gọi c sao cho (giải phương trình này). Khi đó theo tính chất bất biến của metric Poincare
.

5) Bổ đề Schwartz: Bổ đề Schwartz tổng quát như sau:

Nếu là holomorphic giữa hai không gian hyperbolic thì với mọi x,y thuộc M. Dấu = chỉ xảy ra nếu f là isomorphic holomorphism.

Trường hợp đặc biệt M=N=D, f(0)=0 thì
. Giải bất đẳng thức này ta được (dạng thường gặp của bất đẳng thức Schwartz).

Bài tập: Cho f:D->D là holomorphic và f(0)=a. Đánh giá |f(z)|?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 23-05-2006 - 19:04

There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#3
nihaoa

nihaoa

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết
Anh TLCT có thể giải thích 1 tí về cm dl Schwartz mở rộng được không?
Em đọc trong cuốn gì đó anh chỉ mãi mà kô hiểu :luoi.
Còn bài tập đg |f(z)| em thấy sách nào cũng có nên ...làm biếng . :P

#4
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
To nihaoa:
Chứng minh của định lý Schwartz mở rộng là như sau: Xét http://dientuvietnam...metex.cgi?d(a,b)=d_M(x,y),d(g(a),g(b))=d_N(f(x),f(y)) (đpcm).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 24-05-2006 - 14:59

There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#5
nihaoa

nihaoa

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết
Ok hiểu rồi. Cảm ơn anh nhiều :beat

#6
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
6) Normal family: Một khái niệm quan trọng trong động học phức là khái niệm về họ chuẩn tắc (normal family).

Cho một tập mở U trong một đa tạp phức M và cho N là một đa tạp phức khác. Một họ hàm holomorphic http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f_n là precompact trên những tập compact của U.

Chú ý: Tính normal là phụ thuộc vào các đa tạp M và N. Chẳng hạn nếu ta xét http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f_n không normal trong tập http://dientuvietnam...metex.cgi?|z|>1 nhưng nếu ta xét http://dientuvietnam...etex.cgi?|z|>1.

7) Bởi vì mọi hyperbolic space M có universal covering space là http://dientuvietnam...metex.cgi?|z|<1 nên mọi họ http://dientuvietnam...mimetex.cgi?z_0 sao cho http://dientuvietnam...x.cgi?f^{m}(z_0)=z_0 và m là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa điều này. Nếu m=1 thì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?z_0 chính là điểm bất động của f.

Bài tập: Cho . Tìm các điểm bất động của f. Tìm các điểm periodic của f.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 11-07-2006 - 20:11

There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#7
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
9) Bài tập trong mục trước có đáp số là 3 điểm bất động: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0,1,\infty. Có thể đáp số này làm nhiều bạn (nhất là PTTH ngạc nhiên)!!!

10) Để có một cảm giác cụ thể hơn về động học phức, các bạn hãy thử sức với bài toán sau: Cho hàm số
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?z_0 của hàm f với cấp m. Multiplicity của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?z_0http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda
nếu
nếu .
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#8
nihaoa

nihaoa

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết
Sao kô ai tham gia ủng hộ anh TLCT vậy nè? :lol:
Anh TLCT cho em hỏi: anh có thể cho ví dụ gì trong thực tế của động học phức không ạ? Em chưa hiểu cái dãy hàm lặp đó dính gì tới "động đậy" ạ?

#9
Kakalotta

Kakalotta

    Thèm lấy vợ

  • Thành viên
  • 805 Bài viết
Đơn giản là bởi vì ít ai quan tâm chứ sao. Ví dụ như với các SV năm 1,2 thì tốt nhất là nên tìm một cuốn sách để đọc một cách nghiêm túc về cái này, chứ không phải một hai bài post. Cón như bọn tôi thì cũng không quan tâm đến việc giải một vài bài tập nho nhỏ, cũng như việc định nghĩa một vài khái niệm bởi vì chỉ cấn tra cứu một cái là ra ngay, hay việc post một vài định lý cơ bản thì ai cũng làm được và ở đâu cũng có. Thường thì bọn tôi chỉ quan tâm đến sự tương giao giữa các hướng khác nhau của toán học hoặc những gì nó bất thường, chứ những cái welknown thì google cái là ra.
Vả lại đây là mục về Mc Mullen, và các kết quả của ông chứ không phải là topic về hệ động lực.
PhDvn.org

#10
lottakaka

lottakaka

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đơn giản là bởi vì ít ai quan tâm chứ sao. Ví dụ như với các SV năm 1,2 thì tốt nhất là nên tìm một cuốn sách để đọc một cách nghiêm túc về cái này, chứ không phải một hai bài post. Cón như bọn tôi thì cũng không quan tâm đến việc giải một vài bài tập nho nhỏ, cũng như việc định nghĩa một vài khái niệm bởi vì chỉ cấn tra cứu một cái là ra ngay, hay việc post một vài định lý cơ bản thì ai cũng làm được và ở đâu cũng có. Thường thì bọn tôi chỉ quan tâm đến sự tương giao giữa các hướng khác nhau của toán học hoặc những gì nó bất thường, chứ những cái welknown thì google cái là ra.
Vả lại đây là mục về Mc Mullen, và các kết quả của ông chứ không phải là topic về hệ động lực.

Bac kakalotta bat nat cac em khiep qua :D nen de cac em co uoc mo va hoai bao lam khoa hoc. Bac o nuoc ngoai, cac em o trong nuoc, mang mo nhu the la khong nen (toi thay cau qua nen moi tai xuat giang ho :D)

Cac em dang la SV nam thu 1 hoac thu 2 dung so nhe. Cac nha toan hoc khong phai luc nao cung nghi nhung van de cao sieu dau :D rat nhieu nguoi rat rat gioi deu bat dau tu nhung bai tap nho nho, phai do mo hoi soi nuoc mat moi ra com ra khoai.

Quay lai chuyen he dong luc. De co ung dung trong thuc te (vi du chuyen du bao thoi tiet) thi he dong luc thuong rat phuc tap, nhieu tham so --> cao sieu qua khong giai duoc. Vi the hien gio moi nguoi bat dau tu nhung bai toan nhu TLCT dua ra, co the khong co ung dung, bi coi la vo bo, nhung quan trong la phuong phap giai bai toan. Biet dau se co mot phuong phap tot de nhung bai toan phuc tap.

#11
Kakalotta

Kakalotta

    Thèm lấy vợ

  • Thành viên
  • 805 Bài viết
Đã nói vấn đề chính là các bạn nhầm topic rồi. Nếu nói về hệ động lực thì cần chuyển vào topic khác, và tôi sẵn sang góp vài chiêu. tuy nhiên đây là topic về các nnaf toán học được giải Fields, trong đó có Mc Mullen thì nên tập trung vào đó.
PhDvn.org

#12
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
To KK: Tôi nghĩ nếu trình bày về một nhà toán học mà nói được sơ lươc về hướng nghiên cứu của người đó thì thú vị hơn là chỉ trình bày riêng về người đó.

12) Về những bài toán lặp thuộc dạng nêu trong mục 10 có những kết quả lí thú sau:

_Bài báo M. Csornyei and M. Laczkovich "Some periodic and non-periodic recursions", Monatsh. Math. 132, 215-236 (2001): Trong bài báo này các tác giả chứng minh kết quả sau:

Xét dãy lặp http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_n=\dfrac{a_0+a_1x_{n-1}+...+a_kx_{n-k}}{x_{n-k-1}} với http://dientuvietnam...cgi?a_0,...,a_k là những số phức và http://dientuvietnam...x_1,...,x_{k-1} nếu và chỉ nếu nó là một trong 5 dãy sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_n=\dfrac{1}{x_{n-1}} với chu kì 2
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_n=\dfrac{1+x_{n-1}}{x_{n-2}} với chu kì 5
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_n=\dfrac{1+x_{n-1}+x_{n-2}}{x_{n-3}} với chu kì 8
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_n=\dfrac{x_{n-1}}{x_{n-2}} với chu kì 6
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_n=\dfrac{-1-x_{n-1}+x_{n-2}}{x_{n-3}} với chu kì 8.

Cách chứng minh trong bài báo này là "cổ điển" và có thể đọc được bởi những sinh viên năm 2. Bài báo này có miễn phí trên mạng.

_Bài báo Eric Bedford and Kyounghee Kim, "Periodicities in linear fractional recurrences: Degree growth of birational surface maps"-preprint: Trong bài báo này các tác giả chứng minh rằng một dãy lặp
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_n=\dfrac{a_0+a_1x_{n-1}+a_2x_{n-2}}{b_0+b_1x_{n-1}+b_2x_{n-2}} chỉ có thể tuần hoàn với chu kì 5, 6, 8, 12, 18, 30 (trừ trường hợp ngoại lệ http://dientuvietnam....cgi?a_2=b_2=0. Nhưng đối với trường hợp này câu hỏi về sự tuần hoàn của dãy số đưa về câu hỏi: Liệu tồn tại m>0 sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A^m=I với A là ma trận 2x2 http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=&#091;&#091;a_0,a_1],&#091;b_0,b_1]]). Kết quả cũng đưa ra một thuật toán để kiểm tra trong vòng 6 bước liệu một dãy đã cho có tuần hoàn không. Để đọc bài báo này yêu cầu sự quen thuộc với Algebraic geometry và Complex Dynamics.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 14-06-2006 - 18:38

There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#13
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
13) Tiểu sử Curtis McMullen:

McMullen sinh ngày 21-05-1958. Ông nhận giải thưởng Fields năm 1998. Cũng năm này ông được bầu làm thành viên Viện hàn lâm nghệ thuật và khoa học Mỹ. Ông hiện là GS ở Đại học Harvard, Mỹ.

Hai trong số những công trình nổi tiếng của ông là: Công trình về xấp xỉ nghiệm của một phương trình tùy ý và công trình xác định hệ thống động học nào là hyperbolic :).

Công trình mới nhất của ông (được post trên trang web http://www.math.harvard.edu/~ctm/)
là Dynamics on blowups of projective spaces. Điều đặc biệt của công trình này là nó có một mối quan hệ khá sâu với bài báo của Bedford và Kim đã được nêu ở trên.

Trong các bài post tiếp theo, tôi sẽ cố gắng giải thích sơ lược về nội dung của :D về hệ hyperbolic.
Một nguồn tham khảo tốt là:
John Milnor: Dynamics on a complex variable.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#14
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
14) Về phương pháp Euler xấp xỉ nghiệm:

Theo trang Web
http://www.ams.org/f...e/mcmullen.html
thì một phần công trình của McMullen được giải thưởng Fields là công trình về xấp xỉ nghiệm của một phương trình. Có thể là công trình dưới đây: Solving the quintic by iteration
http://www.math.harv...s/icos/icos.pdf

Phương pháp Euler giải xấp xỉ nghiệm của phương trình f(x)=0 là xét dãy lặp
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f&#39;(x_n)}
với giá trị đầu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_0 gần một nghiệm đơn http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x^* của f(x).

Schroder đã nghiên cứu liệu nếu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_0 không còn gần nghiệm của f(x) thì dãy lặp trên có hội tụ không? Ông đã chỉ ra rằng: nếu f(x) là một đa thức bậc 2 với 2 nghiệm phân biệt thì tồn tại một vòng tròn trong mặt cầu Riemann http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_0 thuộc một tập mở thì dãy lặp sẽ hội tụ về nghiệm tương ứng của f(x) trong tập mở đó. Đây có thể coi là công trình mở đầu cho động lực học. Vòng tròn ở trên chính là tập Julia và hai tập mở hội lại thành tập Fatou (lưu ý rằng vệc định nghĩa tập nào trong hai tập trên là Fatou hay Julia là tùy sở thích, xem chú thích trong Milnor).

Theo như trang Web đã dẫn, luận văn tiến sĩ của McMullen đã chứng minh rằng không tồn tại một phương pháp lặp tổng quát chung cho tất cả các đa thức có bậc >3.

Xem thêm về những motivation khác của động lực học từ vật lý, logistics...
Geometry theory of dynamical systems, Nils Berglund: Department of mathematics, ETH Zurich.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 11-07-2006 - 20:08

There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#15
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
15) Frontiers in complex dynamics:

Xin kết thúc loạt bài này bằng tựa đề một bài báo của McMullen
http://www.math.harv...front/front.pdf
Bài báo này sẽ cung cấp cho các bạn thêm thông tin về mảng công trình thứ hai được giải Fields của McMullen.

Động lực học phức hiện nay đang là một "hot topic" của toán học: trong kho vũ khí của nó có complex variables, algebraic geometry và potential theory. Đây là những kiến thức cơ bản cần biết để đọc những kết quả trong chuyên ngành này.

Đặc biệt, projective geometry, cụ thể là nhóm Picard, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu những hàm rational. Vấn đề tính nhóm Picard của những blowups đóng vai trò khá quan trọng. Bài báo "Dynamics on blowups..." của McMullen giải quyết việc blowups trong không gian 2 chiều. Có thể nói rằng việc hiểu được blowups trong những không gian số chiều lớn sẽ là một bước tiến.

Theo ý kiến của người viết loạt bài này, việc được học Postdoc với những người như McMullen sẽ là một điều may mắn lớn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 11-07-2006 - 20:26

There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#16
Lim

Lim

    Quét rác đêm

  • Hiệp sỹ
  • 858 Bài viết

Phỏng vấn Curtis McMullen


Hôm nay rảnh, ngồi đọc mấy bài liên quan đến giải thưởng Fields, trong đó có bài phỏng vấn đại ca Curtis McMullen của Anne-Marie Oreskovich và Dmitry Sagalovskiy trong một math club của Harvard. Xin trích dẫn mấy dòng trong cuộc phỏng vấn này.

LTS: Curtis Tracy McMullen sinh ngày 21 tháng 5 năm 1958, hiện là giáo sư toán tại trường đại học Harvard. Ông được nhận giải thưởng Fields năm 1998 cho công trình nghiên cứu liên quan đến động lực phức, hình học hyperbolic và lý thuyết Teichmüller. McMullen tốt nghiệp thủ khoa năm 1980 tại trường cao đẳng Williams College và bảo vệ luận văn tiến sĩ cho đề tài nghiên cứu : Families of Rational Maps and Iterative Root-Finding Algorithms năm 1985 tại Harvard dưới sự hướng dẫn của giáo sư Dennis Sullivan. Ông tham gia nghiên cứu hậu tiến sĩ tại MIT, MSRI của Berkeley và Viện nghiên cứu nâng cao IAS của Princeton. Sau đó ông trở thành giáo sư của trường đại học Princeton ( 1987-1990), giáo sư tại UC Berkeley ( 1990-1997) trước khi giảng dậy tại Harvard. Ông nhận giải thưởng Salem Prize năm 1991 và được bầu vào Viện Hàn Lâm Quốc Gia (Mỹ) năm 2007. Ông đã hướng dẫn 9 nghiên cứu sinh thuộc hai trường UC Berkeley và Harvard. Hồ sơ ( Full CV) của ông có thể được tham khảo tại Curtis McMullen CV . Bài phỏng vấn dưới đây được thực hiên sau khi giáo sư Curtis McMullen được nhận giải thưởng Fields năm 1998 cũng với các nhà toán học: Richard Borcherds, Timothy Gowers của Anh và Maxim Kontsevich đến từ Nga.

Q: Chào giáo sư, giáo sư giảng dậy ở Harvard được bao lâu rồi ?

M: Một năm rưỡi nếu không tính thời gian học cao học.

Q: Vậy có nghĩa giáo sư từng học ở đây ?

M. Đúng vậy.

Q: Còn đại học thì sao ?

M: Đó là một trường đại học nhỏ thuộc miền đông Massachussets, sau đó tôi có một năm học tập tại Cambridge, Anh Quốc.

Q: Giáo sư có thể giới thiệu với chung tôi đôi điều về giải thưởng Fields không ?

M: Tôi nhớ không nhầm thì giải thưởng này hình thành từ những năm 1930, từ một quỹ nghiên cứu khoa học của nhà toán học Canada , Fields khởi xướng và theo tôi được biết Ahlfors cùng Douglas là những người đầu tiên nhận được giải thưởng này. Giải thưởng Fields được Hội toán học thế giới ICM trao 4 năm một lần cho từ 2 đến 4 nhà toán học xuất sắc ở độ tuổi dưới 40. Năm nay, Kontsvich, Gowers và Borcherds cũng cùng nhận được giải thưởng danh giá này. Ba trong số 4 người chúng tôi, trừ Gowers đều xuất thân từ Berkeley, nơi tôi đã từng làm việc và nghiên cứu trong 7 năm qua.

Q: Giáo sư đã ở đâu khi ông biết được tin mình được giải thưởng Fields ?

M: Tại Harvard. Thực tế, chúng tôi biết được tin đó trước vài tháng, nhưng quy định của ICM là thông tin giải thưởng chỉ được tiết lộ tại buổi lễ trao giải diễn. Vì vậy tôi đã không thể nói cho ai biết được, đó quả là một niềm vui thầm kín vì tin tức về giải thưởng này được lan giải trên nhiều phương tiện đại chúng trước và sau lễ trao giải, trong khi đó tôi cứ phải từ trối bình luận về giải thưởng này.

Q: Giáo sư của thể giới thiệu đôi chút về công trình đã mang lại giải thưởng Fields cho giáo sư không ?

M: ( Xem bản tiếng Anh )

Q: Có thể cho rằng Giáo sư đã từng học tập và nghiên cứu ở cả 4 trường đại học hàng đầu thế giới: Princeton, Berkeley, MIT và Harvard. Giáo sư của thể so sánh một chút về cuộc sống, môi trường nghiên cứu và sinh học, cũng như con người tại những nơi này, cả lý do mà giáo sư chọn trường để học graduate school không ?

M: Các nơi này đều rất khác nhau. Tôi muốn cho MIT ra khỏi danh sách bởi vì tôi chỉ có một kỳ học tập ở đây, nên không thể chia sẻ nhiều. Bắt đầu với Princeton, đây là một khoa "hàng khùng", song thành phố mà chúng tôi ở thì có phần tẻ nhạt cho giới trẻ. Princeton là một địa điểm lý tưởng để đến nếu bạn biết rằng bạn sẽ không ở đó mãi mãi. Nhớ lại thời gian ở Princeton mới thấy hồi đó tôi đã thật...fondly ( hí hửng ?)

Princeton và Harvard đều đối xử rất chu đáo với sinh viên của họ. Có một tỉ lệ rất cân đối giữa số lượng nghiên cứu sinh và giáo sư. Sinh viên đều được hỗ trợ tài chính, khoa toán vừa vừa để có thể quen biết lẫn nhau. Tôi nghĩ rằng sinh viên học tập ở những người bạn cùng lứa rất nhiều trong hai môi trường này và đó là một phần quan trọng trong giáo dục sau đại học.

Berkeley cũng là một môi trường hấp dẫn. Khoa toán ở đây rất lớn với hàng trăm giáo sư. Tôi thích cuộc sống ở đây, tuy nhiên cần mất nhiều thời gian và năng lượng để có thể tìm được một chỗ ở thích hợp, một giáo sư hướng dẫn tốt. Nhưng nếu bạn chọn được đúng người, đúng chỗ thì không còn gì bằng. Điều thú vị là thời tiết ở đây rất đẹp. Bạn có thể đi bộ từ campus vào Strawberry Canyan rối đến Tilden Park rồi đến những nơi hoang dã ( out of humanity) chỉ trong vòng 40 phút.( Tại Harvard tôi phải đạp xe hàng giờ mà vẫn chỉ quanh quẩn ở vùng ngoại ô.) Tại Berkeley đa phần các bể bơi đều ở ngoài trời và chúng rất đẹp, với nhiều kiểu dáng và phục vụ cho nhiều đối tượng. Bạn có cảm giác được tự do, thỏa mái ở nơi này. Bạn không bị ức chế nhiều nếu ý tưởng của mình chưa được thông thoáng, cũng không phải lo lắng nhiều nếu cách tiếp cận hay bài toán đang làm chưa được giải quyết xong. Một trong những điều hấp dẫn của Berkeley đó là có rất nhiều các sinh viên xuất sắc, cũng với rất nhiều các nghiên cứu sinh hậu tiến sĩ để bạn có thể trao đổi, thao luận giao lưu các vấn đề trong toán học.

Tôi cũng thích thời gian làm nghiên cứu sinh tại Harvard. Cambridge và Berkeley đều có phần nhỉnh hơn Princeton ở điểm họ có một cộng đồng toán học trẻ, năng nổ và sôi nổi, đồng thời gần với thành phố lớn. Ở Harvard có phần khó khăn khi trọn được giáo sư cùng hướng nghiên cứu mà mình thích. Và tôi cho rằng một trong những chìa khóa để thành công trong thời gian làm nghiên cứu sinh đó là tìm được người hướng dẫn đủ sức lôi cuốn bạn làm việc cùng trong suốt 4 đến 5 năm.

Q: Tại sao giáo sư lại chuyển từ Berkeley sang Harvard ?

M: Tôi lúc đầu đến đây với vị trí giáo sư thỉnh giảng, sau đó tôi nhận ra giảng dậy ở đây là điều rất thích thú. Tại Berkeley các lớp đại học đều rất lớn với nhiều sinh viên, khác biệt với Harvard. Tôi cảm thấy thích thú với lớp vừa vừa để giáo sư và sinh viên có được mối quan hệ gần gũi. tất nhiên, tôi đã từng là nghiên cứu sinh ở đây nên tôi luôn mong muốn có ngày được trở lại trong môi trường thân thiện, gần gũi tại Harvard này. Lúc đầu tôi cũng khó tưởng tượng được một ngày mình lại được giảng dạy tại chính nơi mình đã học tập. Điều khó tưởng tượng hơn đó là lĩnh vực mà tôi nghiên cứu đã thay đổi không ngừng, khi còn học tập ở đây và bây giờ, nó là sự đan xen và giao thoa mới nhiều mảng toán học khác. Điều thú vị là có quá nhiều thứ ở đây lôi cuốn tôi, và tôi nghĩ rằng mình vẫn đang ở vai trò " học tập" tại nơi này.

Q: Từ một cộng đồng lớn là Berkeley chuyển về cộng động nhỏ hơn là Harvard, liệu giáo sư có mất đi những cơ hội nghiên cứu, hợp tác với các nhà toán học cũ không ?
M: Trên thực tế tôi du lịch khá nhiều vì thế tôi vẫn giữ được các mối liên hệ trong ngành ở khắp nơi trong Mỹ cũng như ở Pháp. Tuy nhiên đa phần nghiên cứu của tôi là tự lập, tôi cố gắng làm tốt nhất công việc của mình. sẽ là có ích nếu tôi có thể thảo luận với một nhà toán học trong ngành, xong không được hợp tác với những nhà toán học như vậy cũng không là điều mất mát lớn. Tôi phải chấp nhận một thực tế đó là đến Harvard là một lựa chọn khó khăn. Tôi nhớ cuộc sống ở Berkeley và có lẽ sẽ nghỉ hưu tại đó.

Q: Giáo sư có khi nào nghĩ rằng một là một nhà toán học của thời kỳ phục hưng theo nghĩa lĩnh vực của ông nghiên cứu được giao thoa với rất nhiều mảng toán học khác ?

M: (Cười): Tôi thì lại nghĩ ngược lại, tôi nghĩ mình là một nhà toán học không chuyển ở một lĩnh vực nào cả, người nghiên cứu nhiều mảng toán học, thích thú nhiều thứ khác nhau xong lại chẳng trọng tâm vào một lĩnh vực nào cả. Tôi chắc chắn không cho rằng mình là một nhà toán học phục hưng. Hiện tại tôi hứng thú với nhiều mảng toán học và tôi thích được nghiên cứu những thứ mà mình không phải là chuyên gia trong lĩnh vực đó. Ngày trước khi tôi đến đây, có nhiều lý thuyết như Hodge theory on complex manifolds ( Lý thuyết Hodge trên các đa tạp phức) không làm tôi thích thú và tôi không có ý định nghiên cứu nó. Vì vậy tôi đã đi vào lĩnh vực mà tôi rất thành thạo đó là One real variable ( một biến thực).

Tôi đã lấy một một giải tích thực trong thời gian đại học; tôi khi đó đến Stanford học tập một năm và đã lấy một môn giải tích thực rất bổ ích từ giáo sư Benjamin Weiss, ông là giáo sư thỉnh giảng đến từ Jerusalem. Chính môn này đã là nguồn cảm hứng đưa tôi đến với lĩnh vực giải tích. Sau đó tôi trở lại làm việc với Williams và có thời gian hướng dẫn bởi Bill Oliver. Ông ấy đã có ảnh hưởng rất lớn đến con đường nghiên cứu toán học của tôi, chính ông đã khơi ngợi ý tưởng sử dụng các dictionaries in mathematics để phân loại các lĩnh vực toán học hoặc các hướng phát triển nền tảng từ đó mở đường hướng nghiên cứu cho tôi.

Khi tôi đến Harvard tôi đã biết một chút về lập trình máy tính - sau khoảng thời gian làm việc mùa hè tại IBM- Watson ở Yorktown Heights cùng với các đồng nghiệp là Mandelbrot và Mumford. Mandelbrot lúc đó đang lập trình để vẽ các tập giới hạn của các nhóm Kleinian. Bạn thử tưởng tượng khi đó chúng tôi phải sử dụng mạng với tốc độ 30 ký tự trên giây, với công cụ chính là FORTRAN. Ví thế, với mỗi hình ảnh chúng tôi cần phải đợi tới gần một tuần để có thể hoàn thành, in ra và xem nó có đúng với lý thuyết hay không.

Sau đó tôi có quan tâm đến Hausdorff dimension bởi vì tôi có biết một chút về giải tích thực nên tôi đã làm việc trong lĩnh vực này. Bài báo đều tiên của tôi được gửi đi sau thời gian nghiên cứu cùng với giáo sư Hironaka của Harvard. Bài toán được hình thành sau khi giáo sư trở về từ Nhật Bản, ông nói với tôi rằng có một vấn đề mà ông chưa làm ra đó là tính chiều fractal của một tập hợp cụ thể. Tập hợp này được hình thành bằng cách vẽ chữ cái "M" và lặp lại như hình vẽ sau, $as shown here$

Sau đó tôi bắt đầu thích thú hơn với mảng động lực phức, vì vậy tôi chuyển từ một biến thực sang hướng một biến phức. Hơn 12 năm sau khi có bằng PhD, tôi cuối cùng cũng đã có thể viết được bài báo liên quan đến hình học Kähler , thứ mà tôi đã chẳng mấy thích thú khi còn là nghiên cứu sinh. Tôi không những đã động đến các mảng toán học khác mà còn tìm hiểu các ý tưởng/ motivation chính dẫn đến lĩnh vực đó, hơn là chỉ dừng lại ở một vấn để và xem nó là thứ " mình sẽ học ở kỳ tới".

Q: Giáo sư có nhắc đến khái niêm " dictionary analogy ", vậy nó là gì ?

M: Giáo sư hướng dẫn Dennis Sullivan là người có ảnh hưởng lớn nhất đến con đường nghiên cứu của tôi . Ông không chỉ là giáo sư hướng dẫn luận văn của tôi mà còn là người có quan hệ gần gũi nhất; khi ông còn làm việc tại IHES, ông vẫn luôn dành thời gian mùa hè để giảng dậy ở Harvard cũng như thỉnh giảng tại New York hay Princeton. Hiện tại ông đang nghiên cứu tại Stony Brook và tôi vẫn thường xuyên tới thăm ông.

M: ( Xem bản tiếng Anh ...)

Q: Giáo sư cất giữ huy chương Fields ở đâu vậy ? có phải tại nhà của ông không ?

M : ( cười): Tôi không thể tiết lộ thông tin này được ^_^

Q: Vậy phản ứng của giáo sư như thế nao khi ông nhận huy chương Fields đó ?
M: Phản ứng đầu tiên của tôi đó là...kinh ngạc. Tôi đã nghĩ rằng mình chưa đủ trình độ để có thể nhận được giải thưởng này, đặc biệt là vấn đề...tuổi tác. Tôi khi đó biết rằng có nhiều nhà toán học lớn khác tại Berkeley cũng như nhiều nơi trên thế giới. Tôi vẫn không thể tin rằng mình là người được hội đồng toán học thế giới chọn. Mặc dù năm 1991 tôi đã đựoc trao giải thưởng Salem Prize, đó là một giải thưởng trong lĩnh vực Giải tích; tôi đã rất vui mừng khi được nhận giải thưởng này bởi vì đó là lĩnh vực tôi dành rất nhiều tình cảm , và đó là giải thưởng toán học đầu tiên của tôi. Trên thực tế luận văn phụ của tôi khi còn là nghiên cứu sinh có liên quan đến Salem numbers, và giải thưởng đó để tôn vinh Raphael Salem vì vậy nó có một ý nghĩa rất cá nhân với tôi. Tôi chưa bao giờ nghĩ rằng mình một ngày sẽ được nhận giải thưởng Fields và tôi muốn chia sẻ niềm vui khi nhận giải thưởng này với các đồng nghiệp của mình. Niềm vui được giải thưởng Fields thật khó tả, giống như một lời mời làm giáo sư tại chính Harvard này vậy.

Điều đó làm tôi gợi nhớ đến câu nói của Lipman Bers, ông cũng là một trong những người hướng dấn tôi, ông nói " Toán học là thứ mà chúng ta làm để bạn bè của chúng ta cảm thấy begrudging admiration ( ngưỡng mộ bất đắc dĩ). Tôi nghĩ rằng đó là một định nghĩa khá tốt cho toán học; bạn không mong mỏi gì hơn nữa bởi vì sự thỏa mãn trong toán học thực sự là một cảm giác tự nhiên của mỗi người. Vì vậy tôi cảm thấy rất may mắn khi được hội đồng toán học thế giới trao tặng giải thưởng Fields.

Q: Có câu chuyện vui nào giáo sư muốn kể với mọi người liên quan đến huy chương Fields không ?

M: Có đấy, đó là một lần tại sân bay Berlin. Nhân viên của sân bay khi đó cho chạy máy dò kim loại đã bắt tôi dừng lại khi túi sách của tôi đi qua máy này. Cô ấy nói " Xin lỗi ngài, ngài đang giữ đồ vật gì trong túi sách tay vậy ?" Tôi nói," Đó là một huy chương bằng vàng". Cô ấy " Mmm hmm" có phần nghi ngờ. Vì vậy tôi phải mở túi sách của mình. Sau một chút ngượng nghịu, cố ấy nói " Oh, nó trông thật đẹp, nó là của ông sao ?", Tôi trả lời " Mmm hmm!"



Nguồn: math.harvard.edu






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh