Chủ đề này có 2 trả lời

[nuoccam]

Cho a,b,c>0, a+b+c=1. CMR: $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a}) \geq (\frac{10}{3})^3$

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho a,b,c>0, a+b+c=1. CMR: $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a}) \geq (\frac{10}{3})^3$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

$a+9.\frac{1}{9b} \geq 10\sqrt[10]{\frac{a}{9^{9}.b^{9}}}$

$b+9.\frac{1}{9c} \geq 10\sqrt[10]{\frac{b}{9^{9}.c^{9}}}$

$c+9.\frac{1}{9a} \geq 10\sqrt[10]{\frac{c}{9^{9}.a^{9}}}$

Suy ra: $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a}) \geq 10^{3}\sqrt[10]{\frac{1}{9^{27}a^{8}b^{8}c^{8}}}$

Lại có: $a^{8}b^{8}c^{8} \leq (\frac{a+b+c}{3})^{24}=\frac{1}{9^{12}}$ 

Do đó, $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a}) \geq 10^{3}\sqrt[10]{\frac{1}{9^{15}}}=(\frac{10}{3})^{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

 

 

Cũng có thể giải bằng BĐT $Holder$
Theo BĐT $Holder$ ta có:
$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a}) \geq (\sqrt[3]{abc}+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}})^{3}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ lại có:
$\sqrt[3]{abc}+\frac{1}{9\sqrt[3]{abc}} \geq \frac{2}{3}$

$\frac{8}{9\sqrt[3]{abc}} \geq \frac{8}{3(a+b+c)}=\frac{8}{3}$
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 16-03-2016 - 20:43

[KietLW9]

Ta có: $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})=abc+\frac{1}{abc}+a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq abc+\frac{1}{abc}+10$

Ta cần chứng minh: $abc+\frac{1}{abc}\geq \frac{730}{27}$

$\Leftrightarrow \frac{(27abc-1)(abc-27)}{27abc}$ (Đúng do  $abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=\frac{1}{27}$)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$