Chủ đề này có 1 trả lời

[nangbuon]

Cho a,b,c >0. CMR $\frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}-ac+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}\geq \frac{3\left ( ab+bc+ca \right )}{a+b+c}$

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho a,b,c >0. CMR $\frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}-ac+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}\geq \frac{3\left ( ab+bc+ca \right )}{a+b+c}$

Ta có: $VT=\frac{a^{4}}{ab^{2}-abc+ac^{2}}+\frac{b^{4}}{bc^{2}-abc+ba^{2}}+\frac{c^{4}}{cb^{2}-abc+ca^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ba^{2}+ca^{2}+cb^{2}-3abc}(Cauchy-Schwarz)$

Dễ dàng chứng minh được $(a+b+c)^{2} \geq 3ab+3bc+3ca$ 

$\Leftrightarrow a+b+c \geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}$

Bây giờ cần chứng minh 

$\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ba^{2}+ca^{2}+cb^{2}-3abc} \geq a+b+c$

$<=>(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} \geq (ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ba^{2}+ca^{2}+cb^{2}-3abc)(a+b+c)$

$<=>a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c) \geq a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b)$

$<=>a^{2}(a-b)(a-c)+b^{2}(b-c)(b-a)+c^{2}(c-a)(c-b) \geq 0$ ( đúng theo BĐT $Schur$ )

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 16-03-2016 - 20:04