Cho a,b,c >0. CMR $\frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}-ac+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}\geq \frac{3\left ( ab+bc+ca \right )}{a+b+c}$
$\sum \frac{a^3}{b^2-bc+c^2}\geq \frac{3\left ( ab+bc+ca \right )}{a+b+c}$
#2
Đã gửi 16-03-2016 - 20:03
Cho a,b,c >0. CMR $\frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}-ac+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}\geq \frac{3\left ( ab+bc+ca \right )}{a+b+c}$
Ta có: $VT=\frac{a^{4}}{ab^{2}-abc+ac^{2}}+\frac{b^{4}}{bc^{2}-abc+ba^{2}}+\frac{c^{4}}{cb^{2}-abc+ca^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ba^{2}+ca^{2}+cb^{2}-3abc}(Cauchy-Schwarz)$
Dễ dàng chứng minh được $(a+b+c)^{2} \geq 3ab+3bc+3ca$
$\Leftrightarrow a+b+c \geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}$
Bây giờ cần chứng minh
$\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ba^{2}+ca^{2}+cb^{2}-3abc} \geq a+b+c$
$<=>(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} \geq (ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ba^{2}+ca^{2}+cb^{2}-3abc)(a+b+c)$
$<=>a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c) \geq a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b)$
$<=>a^{2}(a-b)(a-c)+b^{2}(b-c)(b-a)+c^{2}(c-a)(c-b) \geq 0$ ( đúng theo BĐT $Schur$ )
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 16-03-2016 - 20:04
- quangtq1998, marcoreus101, nangbuon và 2 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh