Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{ab}{c+ab} \geq \frac{1}{2} \sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
nuoccam

nuoccam

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 200 Bài viết

Cho a,b,c > 0, a+b+c=1. CMR:

$\sum \frac{ab}{c+ab} \geq \frac{1}{2} \sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}$



#2
quoccuonglqd

quoccuonglqd

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết
$\sum \frac{ab}{c+ab}=\sum \frac{ab}{(a+c)(b+c)}=\sum \frac{a^{2}b^{2}}{(ab+bc)(ab+ac)}\geqslant \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{\sum (ab+bc)(ab+ac)}\geqslant \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{\frac{4(ab+bc+ca)^{2}}{3}}=\frac{3}{4}$
Áp dụng AM-GM
$\frac{2ab}{c+ab}+\frac{1}{2}\geqslant 2\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}$
Tương tự ta sẽ thu được $\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ca}{b+ca}+\frac{3}{2}\geqslant 2(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}})$
Mà $\sum \frac{2ab}{c+ab}\geqslant \frac{3}{2}$(theo chứng minh ở trên)
$\Rightarrow \sum \frac{4ab}{c+ab}\geqslant \sum \frac{2ab}{c+ab}+\frac{3}{2}\geqslant 2\sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}\Rightarrow \sum \frac{2ab}{c+ab}\geqslant \sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 18-03-2016 - 22:12


#3
nuoccam

nuoccam

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 200 Bài viết

$ \sum \frac{2ab}{c+ab}+\frac{3}{2}\geqslant 2\sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}\Rightarrow \sum \frac{2ab}{c+ab}\geqslant \sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}$

 

Cảm ơn bạn, bạn có thể trình bày phần này hộ mình Rõ hơn được ko  :(






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh