Cho phương trình $x^4+ax^3+bx^2+cx+1 = 0$
C/m $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{4}{3}$
Lộn Box rồi @@
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Master: 17-03-2016 - 20:52
$a^2+b^2+c^2 \geq \frac{4}{3}$
Bắt đầu bởi Math Master, 17-03-2016 - 20:39
#1
Đã gửi 17-03-2016 - 20:39
Math Master
-
- Thành viên
-
- 245 Bài viết
Blue Sky
~Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức.~
Imagination is more important than knowledge.
-Einstein-
#2
Đã gửi 17-03-2016 - 20:53
I Love MC
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 1861 Bài viết
Đại úy
Theo Cauchy-Swarchz : $ax^3+bx^2+cx \le \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^6+x^4+x^2)}$
Do đó $-x^4-1 \le \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^6+x^4+x^2)}$
Suy ra $a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(x^4+1)^2}{x^6+x^4+x^2}$ (1)
Ta có $x^4+x^2+1 \le \frac{3}{2}(x^4+1)$ (theo Cauchy)
Từ đó suy ra $a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(x^4+1)^2}{x^6+x^4+x^2} \ge \frac{2(x^4+1)}{3x^2} \ge \frac{4}{3}$ (đpcm)
- ineX yêu thích
#3
Đã gửi 18-03-2016 - 06:56
quoccuonglqd
-
- Thành viên
-
- 219 Bài viết
Thượng sĩ
Theo Cauchy-Swarchz : $ax^3+bx^2+cx \le \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^6+x^4+x^2)}$
Do đó $-x^4-1 \le \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^6+x^4+x^2)}$
Suy ra $a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(x^4+1)^2}{x^6+x^4+x^2}$ (1)
Ta có $x^4+x^2+1 \le \frac{3}{2}(x^4+1)$ (theo Cauchy)
Từ đó suy ra $a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(x^4+1)^2}{x^6+x^4+x^2} \ge \frac{2(x^4+1)}{3x^2} \ge \frac{4}{3}$ (đpcm)
Có vấn đề ở đây
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
