Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm $a,b,c$:
Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm $a,b,c$:
Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm $a,b,c$:
\[abc+2+k\left [ (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2 \right ]\geq a+b+c\]
Cho $a=0$ thì ta có $k\left [1+(b-1)^2+(c-1)^2\right ]\geq b+c-2$
Áp dụng AM-GM thì $1+(b-1)^2+(c-1)^2\geq 1+\dfrac{(b+c-2)^2}{2}\geq \sqrt{2}(b+c-2)$ nên từ đó thì $k_{min}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Việc còn lại của chúng ta là chứng minh $abc+2+\dfrac{(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2}{\sqrt{2}}\geq a+b+c$
Áp dụng AM-GM thì $(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\geq (1-a)^2+\dfrac{(b+c-2)^2}{2}\geq \sqrt{2}(b+c-2)(1-a)$
Nên ta chỉ cần chứng minh $abc+2+(b+c-2)(1-a)\geq a+b+c\Leftrightarrow a(b-1)(c-1)\geq 0$
Theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại ít nhất hai trong ba số $a-1,\ b-1,\ c-1$ cùng dấu nên ta có thể giả sử $(b-1)(c-1)\geq 0$
Cho nên bất đẳng thức trên đúng
Vậy ta có điều cần chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 18-03-2016 - 00:47
bài này giống bài T10 trong THTT số 463 đí
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh