Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm số $k$ nhỏ nhất

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
fatcat12345

fatcat12345

    Binh nhất

  • Banned
  • 46 Bài viết

Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm $a,b,c$:

\[abc+2+k\left [ (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2 \right ]\geq a+b+c\]

 



#2
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

 

Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm $a,b,c$:

\[abc+2+k\left [ (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2 \right ]\geq a+b+c\]

 

 Cho $a=0$ thì ta có $k\left [1+(b-1)^2+(c-1)^2\right ]\geq b+c-2$

 Áp dụng AM-GM thì $1+(b-1)^2+(c-1)^2\geq 1+\dfrac{(b+c-2)^2}{2}\geq \sqrt{2}(b+c-2)$ nên từ đó thì $k_{min}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

 Việc còn lại của chúng ta là chứng minh $abc+2+\dfrac{(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2}{\sqrt{2}}\geq a+b+c$

 Áp dụng AM-GM thì $(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\geq (1-a)^2+\dfrac{(b+c-2)^2}{2}\geq \sqrt{2}(b+c-2)(1-a)$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $abc+2+(b+c-2)(1-a)\geq a+b+c\Leftrightarrow a(b-1)(c-1)\geq 0$

 Theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại ít nhất hai trong ba số $a-1,\ b-1,\ c-1$ cùng dấu nên ta có thể giả sử $(b-1)(c-1)\geq 0$

 Cho nên bất đẳng thức trên đúng

 Vậy ta có điều cần chứng minh :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 18-03-2016 - 00:47


#3
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết

bài này giống bài T10 trong THTT số 463 đí






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh