Chủ đề này có 2 trả lời

[Hannie]

Giả sử pt: $ax^{2}+bx+c=0$ có 2 nghiệm $0\leq x_{1},x_{2}\leq 1$ Tìm a,b để $P=\frac{(a-b)(2a-c)}{a(a-b+c)}$ đạt max, min

[I Love MC]

Áp dụng hệ thức Viet : $x_1+x_2=\frac{-b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$ 
$\Rightarrow P=\frac{(a-b)(2a-c)}{a(a-b+c)}=\frac{(1-\frac{b}{a})(2-\frac{c}{a})}{1-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}=\frac{(1+x_1+x_2)(2-x_1x_2)}{1+x_2+x_1+x_1x_2}$ 
$\Leftrightarrow P=\frac{2+2(x_1+x_2)-x_1x_2-x_1x_2(x_1+x_2)}{x_1+x_2+x_1x_2+1}=2-\frac{3x_1x_2-x_1x_2(x_1+x_2)}{x_1x_2+x_1+x_2+1} \le 2$ 
Dấu $=$ xảy ra khi $x_1x_2=0 \Leftrightarrow c=0$ 
Ta lại có $P=\frac{2+2(x_1+x_2)-x_1x_2-x_1x_2(x_1+x_2)}{x_1+x_2+x_1x_2+1} \ge \frac{2+4x_1x_2-x_1x_2-2x_1x_2}{1+x_1+x_2+x_1x_2}$ (do $0 \le x_1,x_2 \le 1$) 
Lại có vì $0 \le x_1,x_2 \le 1 \Rightarrow x_1+x_2 \ge x_1^2+x_2^2 \ge 2x_1x_2$ 
Mà $x_1+x_2 \le 2 \Rightarrow -x_1x_2(x_1+x_2) \ge -2x_1x_2$
$P \ge \frac{2+x_1x_2}{1+x_1+x_2+x_1x_2}=\frac{8+4x_1x_2}{4(x_1x_2+x_1+x_2+1)} \ge \frac{(3-x_1)(3-x_2)+(x_1+x_2+x_1x_2)-1}{4(x_1+x_2+x_1x_2+1)}$ 
$\Leftrightarrow P \ge \frac{4-1+3(x_1x_2+x_1+x_2)}{4(x_1x_2+x_1+x_2+1)} \ge \frac{3}{4}$ 
Dấu $=$ xảy ra khi $x_1=x_2 \Rightarrow a=c=\frac{-b}{2}$ 

[OiDzOiOi]

Áp dụng hệ thức Viet : $x_1+x_2=\frac{-b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$ 
$\Rightarrow P=\frac{(a-b)(2a-c)}{a(a-b+c)}=\frac{(1-\frac{b}{a})(2-\frac{c}{a})}{1-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}=\frac{(1+x_1+x_2)(2-x_1x_2)}{1+x_2+x_1+x_1x_2}$ 
$\Leftrightarrow P=\frac{2+2(x_1+x_2)-x_1x_2-x_1x_2(x_1+x_2)}{x_1+x_2+x_1x_2+1}=2-\frac{3x_1x_2-x_1x_2(x_1+x_2)}{x_1x_2+x_1+x_2+1} \le 2$ 
Dấu $=$ xảy ra khi $x_1x_2=0 \Leftrightarrow c=0$ 
Ta lại có $P=\frac{2+2(x_1+x_2)-x_1x_2-x_1x_2(x_1+x_2)}{x_1+x_2+x_1x_2+1} \ge \frac{2+4x_1x_2-x_1x_2-2x_1x_2}{1+x_1+x_2+x_1x_2}$ (do $0 \le x_1,x_2 \le 1$) 
Lại có vì $0 \le x_1,x_2 \le 1 \Rightarrow x_1+x_2 \ge x_1^2+x_2^2 \ge 2x_1x_2$ 
Mà $x_1+x_2 \le 2 \Rightarrow -x_1x_2(x_1+x_2) \ge -2x_1x_2$
$P \ge \frac{2+x_1x_2}{1+x_1+x_2+x_1x_2}=\frac{8+4x_1x_2}{4(x_1x_2+x_1+x_2+1)} \ge \frac{(3-x_1)(3-x_2)+(x_1+x_2+x_1x_2)-1}{4(x_1+x_2+x_1x_2+1)}$ 
$\Leftrightarrow P \ge \frac{4-1+3(x_1x_2+x_1+x_2)}{4(x_1x_2+x_1+x_2+1)} \ge \frac{3}{4}$ 

Dấu $=$ xảy ra khi $x_1=x_2 \Rightarrow a=c=\frac{-b}{2}$  

 

?????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi OiDzOiOi: 19-03-2016 - 23:19