Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2016


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 382 trả lời

#381 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 01-07-2016 - 09:11

 

Bài 194: Cho $x,y,z>0$ là các số thực dương thỏa mãn: $xyz+x+z=y$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{2}{x^2+1}-\frac{2}{y^2+1}-\frac{4z}{\sqrt{z^2+1}}+\frac{3z}{(z^2+1)\sqrt{z^2+1}}$.

 

Giải:

GT $\Leftrightarrow xz+z.\frac{1}{y}+\frac{1}{y}.x=1$

$\Rightarrow$ Tồn tại tam giác $ABC$ sao cho $x=\tan \frac{A}{2};z=\tan \frac{B}{2};\frac{1}{y}=\tan \frac{C}{2}$

$\Rightarrow P=2\cos ^2\frac{A}{2}-2\sin ^2\frac{C}{2}-4\sin \frac{B}{2}+3\sin \frac{B}{2}\cos ^2\frac{B}{2}$

Ta có

$2\cos ^2\frac{A}{2}-2\sin ^2\frac{C}{2}=\cos A+\cos C=2\cos \frac{A+C}{2}.\cos \frac{A-C}{2}\leqslant 2\sin \frac{B}{2}$

$\Rightarrow P\leqslant 3\sin \frac{B}{2}\cos ^2\frac{B}{2}-2\sin \frac{B}{2}=-3\sin ^3\frac{B}{2}+\sin \frac{B}{2}$

Đặt $t=\sin \frac{B}{2}$ ($t \in (0;1)$)

$\Rightarrow P\leqslant f(t)=-3t^3+t$

Khảo sát hàm $f(t)$ trên $(0;1)$ ta được $f(t)\leqslant f\begin{pmatrix} \frac{1}{6} \end{pmatrix}=\frac{11}{72}$

Max $P=\frac{11}{72}$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sin \frac{B}{2} =\frac{1}{6}& & \\ \cos \frac{A-C}{2}=1 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{35}}{7};y=\frac{\sqrt{35}}{5};z=\frac{\sqrt{35}}{35}$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#382 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 01-07-2016 - 10:17

Bài 200:

 

Bài này mình làm khá dài, nếu ai có cách hay hơn thì đăng lên nha. 

Do vai trò của $x,y,z$ như nhau nên KMTTQ giả sử $x\ge y\ge z\implies z\le \frac{1}{3}\implies x+y\ge \frac{2}{3}$

$gt\implies z=1-x-y(1)$.

 

 

Đặt $x+y=a;xy=b$. Từ $(1)\implies a\in [\frac{2}{3};1];b\in [0;\frac{1}{4}]$.(d0 $4b\le a^2$).

 

Khi đó: $A=x^4(1-x)+y^4(1-y)+z^4(1-z)=(x^4+y^4)-(x^5+y^5)+a(1-a)^4$

 

Lại có: $x^4+y^4=a^4-4a^2b+2b^2;x^5+y^5=a^5-5a^3b+5ab^2$

 

Nên $A=(a^4-4a^2b+2b^2)-(a^5-5a^3b+5ab^2)+a(1-a)^4=-3a^4+a^3(6+5b)-a^2(4b+4)+a(1-5b^2)+2b^2$

$=b^2(2-5a)+b(5a^3-4a^2)+(a-4a^2+6a^3-3a^4)=f(b),b\in [0;\frac{1}{4}]$.

Nhắc lại kiến thức: Xét tam thức bậc 2: $f(x)=mx^2+nx+p(m<0),x\in [u,v]$.

 

Khi đó: $f(x)_{Max}=f(\frac{-n}{2m})$ nếu $\frac{-n}{2m}\in [u,v]$.

 

Và $f(x)_{Max}=Max({f(u);f(v)})$ nếu $\frac{-n}{2m}\noin [u,v]$.

 

Tóm lại $f(x)_{Max}=Max({f(u);f(v);f(\frac{-n}{2m})})\forall x\in [u;v]$.

Áp dụng điều này vào bài toán trên ta có: $a\in [\frac{2}{3};1]\implies 2-5a<0$

$Max A=Max{f(0),f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)}),f(\frac{1}{4})}$.

*Ta có: $f(0)=a-4a^2+6a^3-3a^4=f(a)\forall a\in [\frac{2}{3};1]$.

Đến đây khảo sát hàm $f(a)$. Ta tìm được: $Max f(a)=\frac{1}{12}$ tại $a=\frac{3+\sqrt{3}}{6}$.

Tương tự khảo sát $f(\frac{1}{4})$. Ta tìm được $Max f(\frac{1}{4})=\frac{1}{16}$ tại $a=1$.

Nhọc nhằng nhất là $f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})$ (Mình phải dùng Casio để tìm Max và Max cũng bằng 1/12).

Do $b\in [0;\frac{1}{4}]\implies \frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)} \in [0;\frac{1}{4}]\implies a\in [\frac{4}{5};1]$

Ta có: $f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})-\frac{1}{12}=\frac{25a^6-100a^5+160a^4-128a^3+52a^2-8a}{4(5a-2)}-\frac{1}{12}$

$=\frac{300a^6-1200a^5+1920a^4-1536a^3+624a^2-116a+8}{4(5a-2)}$

$=\frac{4(a-1)(75a^5-225a^4+255a^3-129a^2+27a-2)}{4(5a-2)}$.

Ta đi chứng minh: $T=75a^5-225a^4+255a^3-129a^2+27a-2\forall a\in [\frac{4}{5};1]$.

Thật vậy: $T=\frac{3(5a-4)[(5a-4)(125a^3-175a^2+65a+1)+25]}{125}+\frac{2}{125}$

Xét $125a^3-175a^2+65a+1=(125a^3+65a)-175a^2+1\ge^{CauChy} a^2(2\sqrt{125*65}-175)+1>0$

$\implies T>0$.

 

$\implies f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})-\frac{1}{12}\le 0\implies  f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})\le \frac{1}{12}$.

Vậy $Max A=\frac{1}{12}$ tại $a=1\implies b=\frac{1}{6}$.

Kết luận: Vậy $Max A=\frac{1}{12}$. Dấu $=$ xảy ra tại $a=\frac{3+\sqrt{3}}{6},b=0...v....a=1;b=\frac{1}{6}\iff (x;y;z)=(\frac{3+\sqrt{3}}{6};0;\frac{3-\sqrt{3}}{6})$ và các hoán vị.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 01-07-2016 - 10:23

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#383 VODANH9X

VODANH9X

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-07-2016 - 13:14

Bài 200:

 

Bài này mình làm khá dài, nếu ai có cách hay hơn thì đăng lên nha. 

Do vai trò của $x,y,z$ như nhau nên KMTTQ giả sử $x\ge y\ge z\implies z\le \frac{1}{3}\implies x+y\ge \frac{2}{3}$

$gt\implies z=1-x-y(1)$.

 

 

Đặt $x+y=a;xy=b$. Từ $(1)\implies a\in [\frac{2}{3};1];b\in [0;\frac{1}{4}]$.(d0 $4b\le a^2$).

 

Khi đó: $A=x^4(1-x)+y^4(1-y)+z^4(1-z)=(x^4+y^4)-(x^5+y^5)+a(1-a)^4$

 

Lại có: $x^4+y^4=a^4-4a^2b+2b^2;x^5+y^5=a^5-5a^3b+5ab^2$

 

Nên $A=(a^4-4a^2b+2b^2)-(a^5-5a^3b+5ab^2)+a(1-a)^4=-3a^4+a^3(6+5b)-a^2(4b+4)+a(1-5b^2)+2b^2$

$=b^2(2-5a)+b(5a^3-4a^2)+(a-4a^2+6a^3-3a^4)=f(b),b\in [0;\frac{1}{4}]$.

Nhắc lại kiến thức: Xét tam thức bậc 2: $f(x)=mx^2+nx+p(m<0),x\in [u,v]$.

 

Khi đó: $f(x)_{Max}=f(\frac{-n}{2m})$ nếu $\frac{-n}{2m}\in [u,v]$.

 

Và $f(x)_{Max}=Max({f(u);f(v)})$ nếu $\frac{-n}{2m}\noin [u,v]$.

 

Tóm lại $f(x)_{Max}=Max({f(u);f(v);f(\frac{-n}{2m})})\forall x\in [u;v]$.

Áp dụng điều này vào bài toán trên ta có: $a\in [\frac{2}{3};1]\implies 2-5a<0$

$Max A=Max{f(0),f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)}),f(\frac{1}{4})}$.

*Ta có: $f(0)=a-4a^2+6a^3-3a^4=f(a)\forall a\in [\frac{2}{3};1]$.

Đến đây khảo sát hàm $f(a)$. Ta tìm được: $Max f(a)=\frac{1}{12}$ tại $a=\frac{3+\sqrt{3}}{6}$.

Tương tự khảo sát $f(\frac{1}{4})$. Ta tìm được $Max f(\frac{1}{4})=\frac{1}{16}$ tại $a=1$.

Nhọc nhằng nhất là $f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})$ (Mình phải dùng Casio để tìm Max và Max cũng bằng 1/12).

Do $b\in [0;\frac{1}{4}]\implies \frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)} \in [0;\frac{1}{4}]\implies a\in [\frac{4}{5};1]$

Ta có: $f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})-\frac{1}{12}=\frac{25a^6-100a^5+160a^4-128a^3+52a^2-8a}{4(5a-2)}-\frac{1}{12}$

$=\frac{300a^6-1200a^5+1920a^4-1536a^3+624a^2-116a+8}{4(5a-2)}$

$=\frac{4(a-1)(75a^5-225a^4+255a^3-129a^2+27a-2)}{4(5a-2)}$.

Ta đi chứng minh: $T=75a^5-225a^4+255a^3-129a^2+27a-2\forall a\in [\frac{4}{5};1]$.

Thật vậy: $T=\frac{3(5a-4)[(5a-4)(125a^3-175a^2+65a+1)+25]}{125}+\frac{2}{125}$

Xét $125a^3-175a^2+65a+1=(125a^3+65a)-175a^2+1\ge^{CauChy} a^2(2\sqrt{125*65}-175)+1>0$

$\implies T>0$.

 

$\implies f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})-\frac{1}{12}\le 0\implies  f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})\le \frac{1}{12}$.

Vậy $Max A=\frac{1}{12}$ tại $a=1\implies b=\frac{1}{6}$.

Kết luận: Vậy $Max A=\frac{1}{12}$. Dấu $=$ xảy ra tại $a=\frac{3+\sqrt{3}}{6},b=0...v....a=1;b=\frac{1}{6}\iff (x;y;z)=(\frac{3+\sqrt{3}}{6};0;\frac{3-\sqrt{3}}{6})$ và các hoán vị.

Mình có cách này cũng được nhưng nhìn không tự nhiên lắm.Ta đưa về theo p,q,r.($p=x+y+z=1,q=xy+yz+zx,r=xyz$)

Ta sẽ chứng minh:$x^{4}(y+z)+y^{4}(x+z)+z^{4}(y+x)\leq \frac{1}{12}$

Thật vậy, bđt trở thành:$(1-3q)q+(5q-1)r\leq \frac{1}{12}$

  Nếu $q\leq \frac{1}{5}$ ta có $(1-3q)q+(5q-1)r\leq (1-3q)q=\frac{1}{3}(1-3q)3q\leq \frac{1}{3}(\frac{1-3q+3q}{2})^{2}=\frac{1}{12}$

  Nếu $q< \frac{1}{5}$ ta có $(1-3q)q+(5q-1)r\leq (1-3q)q+(5q-1)\frac{q}{9}=\frac{1}{36}(-88q^{2}+32q-3)+\frac{1}{12}<\frac{1}{12} $

(vì $xy+yz+zx=(xy+yz+xz)(x+y+z)\geq 9xyz\Leftrightarrow q\geq 9r$)

Bđt được chứng minh xong.

Cách này là mình xem của anh Võ Thành Văn,mình thấy hay nên up lên luôn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VODANH9X: 27-07-2016 - 13:21





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh