Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2016


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 382 trả lời

#101 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 02-05-2016 - 17:47

Nếu có 10 like mình sẽ dành trọn bộ cho cách giải hay và sáng tạo này.Cảm ơn bạn

 

Bài 54: [Crux] Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$

 

Bài 55: [Crux] Giả sử x,y là các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^3\ge x^3+y^4$. Chứng minh rằng: $x^3+y^3\le 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 04-05-2016 - 22:03

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#102 phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 480 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\text{Planet Vegeta}$
  • Sở thích:${\color{Cyan}{\boxed{{\color{Yellow}{\boxed{{\color{blue}
    \bigstar}}\boxed{\color{red}{\text{Dragon ball}}}\boxed{{\color{Green}\bigstar}}}}}}}$

Đã gửi 02-05-2016 - 19:44

Bài 44:
Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{ab^2}{(b^2+ac)(c+a)}+\frac{16c^4}{(c+a)^4}$

 

Bài 45:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: $abc(a+b+c)=4$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{1}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}-\frac{8bc}{bc(b^2+c^2)+8}$

 

Bài 47:
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $x^2=y^2+z$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{(1+2xy)z}{(x^2+y^2)(1+z^2)}+\frac{3z^2}{(1+z^2)\sqrt{1+z^2}}$

Bài 44:

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=xc & \\ b=yc & \end{matrix}\right.$, biểu thức $P$ trở thành:

$P=\frac{x^{2}}{\left ( x+y \right )^{2}}+\frac{xy^{2}}{\left ( x+y^{2} \right )\left ( x+1 \right )}+\frac{16}{\left ( x+1 \right )^{4}}\\=\frac{x^{2}}{\left ( \sqrt{x}.\sqrt{x}+y.1 \right )^{2}}+\frac{xy^{2}}{\left ( x+y^{2} \right )\left ( x+1 \right )}+\frac{16}{\left ( x+1 \right )^{4}}\\\\\geq \frac{x^{2}}{\left ( x+y^{2} \right )\left ( x+1 \right )}+\frac{xy^{2}}{\left ( x+y^{2} \right )\left ( x+1 \right )}+\frac{16}{\left ( x+1 \right )^{4}}\\\\=\frac{x}{x+1}+\frac{16}{\left ( x+1 \right )^{4}}\\=\frac{16}{\left ( x+1 \right )^{4}}-\frac{1}{x+1}+1$

Đặt $\frac{1}{x+1}=t$, ta có:

$P\geq 16.t^{4}-t+1$. Khảo sát hàm số trên với $t> 0$ , ta được: $P\geq \frac{13}{16}$

Bài 45:

$P=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}}-\frac{8bc}{bc\left ( b^{2}+c^{2} \right )+8}\geq \frac{1}{\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}}-\frac{4bc}{b^{2}c^{2}+4}$. Từ đề bài, ta có:

$a^{2}+ab+ca=\frac{4}{bc}$

$\Rightarrow P\geq \frac{1}{\sqrt{bc+\frac{4}{bc}}}-\frac{4}{bc+\frac{4}{bc}}$

Đặt $t=\frac{1}{\sqrt{bc+\frac{4}{bc}}}\Rightarrow t\leq \frac{1}{2}$, ta có:

$P\geq t-4t^{2}\geq -\frac{1}{2}$

Bài 47:

Ta có: 

$\left [z\left ( 2xy+1 \right ) \right ]^{2}=\left [z.2xy+1.\left ( x^{2}-y^{2} \right ) \right ]^{2}\leq \left ( z^{2}+1 \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}\\\Rightarrow z\left ( 2xy+1 \right )\leq \left ( x^{2}+y^{2} \right )\sqrt{1+z^{2}}$

Vậy:

$P\leq \frac{1}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{3z^{2}}{\left ( 1+z^{2} \right )\sqrt{1+z^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{z^{2}+1}}-\frac{3}{\left ( \sqrt{1+z^{2}} \right )^{3}}$

Đặt $t=\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$, ta có: $P\leq 4t-3t^{3}\leq \frac{16}{9}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 02-05-2016 - 19:57


#103 phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 480 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\text{Planet Vegeta}$
  • Sở thích:${\color{Cyan}{\boxed{{\color{Yellow}{\boxed{{\color{blue}
    \bigstar}}\boxed{\color{red}{\text{Dragon ball}}}\boxed{{\color{Green}\bigstar}}}}}}}$

Đã gửi 02-05-2016 - 20:05

Các đề thi thử THPT Quốc gia của thầy Đặng Thành Nam

 

Bài 56: Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=ab+bc+ca+\left ( a+b+3c \right )\sqrt{1-a^{2}-b^{2}-c^{2}}$

 

Bài 57: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}{abc}-\frac{1}{10}\left ( \frac{a^{2}+c^{2}}{ac} \right )^{3}$

 

Bài 58: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( b+c \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( c+a \right )^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 04-05-2016 - 22:04


#104 ZOT Murloc

ZOT Murloc

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-05-2016 - 22:18

Bài 58: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( b+c \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( c+a \right )^{2}}$

 

Ta sẽ chứng minh 2 BĐT sau

 

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\left ( a+c \right )^2}\geq b^2 & \\ \frac{1}{\left ( b+c \right )^2}\geq a^2 & \end{matrix}\right.$

 

Chứng minh BĐT  đầu ,BĐT sau tương tự

 

$\frac{1}{\left ( a+c \right )^2}\geq b^2 \Leftrightarrow \frac{\left ( ab+bc+ca \right )^2}{\left ( a+c \right )^2}-b^2\geq 0$

 

$\Leftrightarrow \frac{ac \left ( 2ab+2bc+ac \right )}{\left ( a+c \right )^2}\geq 0$

 

BĐT trên đúng. Vậy BĐT phụ được chứng minh

 

Suy ra

 

$P\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^2}+3a^2+3b^2\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^2}+\frac{3\left ( a+b \right )^2}{2}\geq 4\sqrt{3}$

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=0 & \\ a=b=\frac{2}{\sqrt{3}} & \end{matrix}\right.$

 

Vậy $MinP=4\sqrt{3}\Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=0 & \\ a=b=\frac{2}{\sqrt{3}} & \end{matrix}\right.$

 

 

Mong các bạn không ra thêm bài làm loãng topic.
Còn rất nhiều bài chưa làm ở trên



#105 ZOT Murloc

ZOT Murloc

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-05-2016 - 22:26

Bài 55: [Crux] Giả sử x,y là các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^3\ge x^3+y^4$. Chứng minh rằng: $x^3+y^3\le 2$

Ta có $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}\Rightarrow x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+y^{2}+y^{4}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $y^{4}+y^{2}\geq 2y^{3}$

Do đó: $x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+2y^{3}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$ (1)

Áp dụng BĐT Cauchy-Swcharz, ta có :

$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}\leq \left ( x+y \right )\left ( x^{3}+y^{3} \right )$

 $\leq \left ( x+y \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$  (2)

 Mặt khác $\left ( x+y \right )^{2}\leq 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq 2\left ( x+y \right )\Rightarrow x+y\leq 2$ (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZOT Murloc: 02-05-2016 - 22:35


#106 ZOT Murloc

ZOT Murloc

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-05-2016 - 00:11

Bài 49: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $x^2+y^2+z^2=3xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{x^2}{y^2+yz}+\frac{y}{z+x}+\frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=a.z & \\ y=b.z & \end{matrix}\right.$                   $(a.b>0)$

 

$\Rightarrow a^2+b^2+1=3ab$

 

$\Leftrightarrow \left ( a-b \right )^2+1=ab$

 

Suy ra 

 

$1\leq ab\leq \left (\frac{a+b}{2} \right )^2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab\geq 1 & \\ a+b\geq 2 & \end{matrix}\right.$

 

Biểu thức P được viết lại như sau

 

$P=\frac{a^2}{b^2+b}+\frac{b}{a+1}+\frac{a^2+b^2}{a^2+1}$

 

$=\frac{a^2\left ( a+1 \right )+b^2\left ( b+1 \right )}{b\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}+\frac{a^2+b^2}{a^2+1}$

 

$=\frac{\left ( a+b \right )\left ( a^2-ab+b^2+1 \right )}{b\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}+\frac{a^2+b^2}{a^2+1}$

 

$=\frac{2ab.\left ( a+b \right )}{b\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}+\frac{a^2+b^2}{a^2+1}$

 

$=\frac{2a.\left ( a+b \right )}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}+\frac{a^2+b^2}{a^2+1}\geq \frac{2a.\left ( a+b \right )}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}+\frac{a^2+b^2}{a^2+ab}$

 

$\geq 2\sqrt{\frac{2\left ( a^2+b^2 \right )}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}}\geq 4\sqrt{\frac{\left ( a+b \right )^2}{\left ( a+b+2 \right )^2}}$

 

$=4.\frac{x+y}{x+y+2}=4\left ( 1-\frac{2}{x+y+2} \right )\geq 4.\left ( 1-\frac{2}{2+2} \right )=2$

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1\Leftrightarrow x=y=z$

 

Vậy $MinP=2\Leftrightarrow x=y=z$



#107 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 03-05-2016 - 20:08

Bài 57:
Ta có: $(a-b)(b-c)(c-a)\ge 0\iff \sum ab^2\ge \sum a^2b$
Khi đó: $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{\sum a^2b+\sum ab^2+2abc}{abc}\le \frac{2\sum ab^2+2abc}{abc}$
Mặt khác ta lại có: $(a-b)(b-c)\ge 0\iff ab+bc\ge ac+b^2\iff a(ab+bc)\ge a(ac+b^2)$
$\iff a^2b+abc\ge a^2c+ab^2\iff a^2b+abc+bc^2\ge \sum ab^2\iff \sum ab^2\le b(a^2+c^2+ac) $
Khi đó $P=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
$\le\frac{2\sum ab^2+2abc}{abc}-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
$\le\frac{2b(a^2+c^2+ac)+2abc}{abc}-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
$=2\left(\frac{a^2+c^2}{ac}+2\right)-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
Đến đặt $t=\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)$.
=>$P\le f(t)=2(t+2)-\frac{t^3}{10}$.
Ta đi chứng minh: $t\le \frac{5}{2}\iff a^2+c^2\le\frac{5}{2}ac$
Thật vậy ta có:
$1\le a\le c\le 2$. Nên dễ dàng suy ra được: $2\le\frac{a^2+c^2}{ac}\le\frac{5}{2}. hay. 2\le t\le\frac{5}{2}$
Đến đây kháo sát hàm f(t) trên (2;5/2)
=> $max P=\frac{119}{16}$. Dấu = xảy ra khi a=b=1;c=2.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 04-05-2016 - 12:12

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#108 pndpnd

pndpnd

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-05-2016 - 23:09

Cho $x,y,z>0$ và $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTNN:

$P= \sqrt{\frac{3}{(x+y)^2}+z^2}+\sqrt{\frac{3}{(y+z)^2}+x^2}+\sqrt{\frac{3}{(x+z)^2}+y^2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 04-05-2016 - 22:04


#109 rocket

rocket

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

Đã gửi 04-05-2016 - 08:07

Bài 59. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=(a+b)(b+c)(c+a)+\sqrt{\frac{2016}{a+b+c}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 04-05-2016 - 22:04


#110 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 04-05-2016 - 12:12

Các đề thi thử THPT Quốc gia của thầy Đặng Thành Nam

 

Bài 56: Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=ab+bc+ca+\left ( a+b+3c \right )\sqrt{1-a^{2}-b^{2}-c^{2}}$

 

Bài 57: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}{abc}-\frac{1}{10}\left ( \frac{a^{2}+c^{2}}{ac} \right )^{3}$

 

Bài 58: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( b+c \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( c+a \right )^{2}}$

Bài 57:
Ta có: $(a-b)(b-c)(c-a)\ge 0\iff \sum ab^2\ge \sum a^2b$
Khi đó: $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{\sum a^2b+\sum ab^2+2abc}{abc}\le \frac{2\sum ab^2+2abc}{abc}$
Mặt khác ta lại có: $(a-b)(b-c)\ge 0\iff ab+bc\ge ac+b^2\iff a(ab+bc)\ge a(ac+b^2)$
$\iff a^2b+abc\ge a^2c+ab^2\iff a^2b+abc+bc^2\ge \sum ab^2\iff \sum ab^2\le b(a^2+c^2+ac) $
Khi đó $P=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
$\le\frac{2\sum ab^2+2abc}{abc}-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
$\le\frac{2b(a^2+c^2+ac)+2abc}{abc}-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
$=2\left(\frac{a^2+c^2}{ac}+2\right)-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
Đến đặt $t=\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)$.
=>$P\le f(t)=2(t+2)-\frac{t^3}{10}$.
Ta đi chứng minh: $t\le \frac{5}{2}\iff a^2+c^2\le\frac{5}{2}ac$
Thật vậy ta có:
$1\le a\le c\le 2$. Nên dễ dàng suy ra được: $2\le\frac{a^2+c^2}{ac}\le\frac{5}{2}. hay. 2\le t\le\frac{5}{2}$
Đến đây kháo sát hàm f(t) trên (2;5/2)
=> $max P=\frac{119}{16}$. Dấu = xảy ra khi a=b=1;c=2.


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#111 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 04-05-2016 - 15:31

Cho $x,y,z>0$ và $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTNN:

$P= \sqrt{\frac{3}{(x+y)^2}+z^2}+\sqrt{\frac{3}{(y+z)^2}+x^2}+\sqrt{\frac{3}{(x+z)^2}+y^2}$

Áp dụng BDT Mincopxki ta có:

$P=\sum \sqrt{\frac{3}{(x+y)^2}+z^2}\ge \sqrt{3\left(\sum \frac{1}{x+y}\right)^2+(\sum x)^2}$

Mà $\left(\sum \frac{1}{x+y}\right)^2\ge \frac{9}{2\sum x}=>P\ge \sqrt{\frac{243}{4(\sum x)^2}+(\sum x)^2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 04-05-2016 - 15:36

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#112 quangtq1998

quangtq1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 192 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 04-05-2016 - 19:16

Bài 59. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=(a+b)(b+c)(c+a)+\sqrt{\frac{2016}{a+b+c}}$

 
 
Ta có :$ (ab+bc+ca)^2 \ge abc(a+b+c) \Rightarrow  \sqrt{3}\leq \sqrt{a+b+c} \leq (ab+bc+ca) $
$\rightarrow P +1\ge \sqrt{(a+b+c)^3} + \sqrt{\frac{2016}{a+b+c}}$
Xét $ f(t) = t^3 + \frac{\sqrt{2016}}{t}$ ,
        $f'(t) = 3t^2 - \frac{\sqrt{2016}}{t^2} >0   $ với mọi $ t \ge \sqrt{3} $
     Nên $f(\sqrt{a+b+c}) \ge f(\sqrt{3}) $ 
    Hay  $P \ge f(\sqrt{3})+1 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 04-05-2016 - 19:20


#113 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 04-05-2016 - 21:37

Bài 60: Cho a,b,c thuộc [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=abc+(1-a)(1-b)(2-c)+\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{b+a+1}$

 

Bài 61 Đề thi dự bị THPTQG 2015): Cho các số a,b thuộc $[\frac{1}{2};1]$. Tìm Min của:
$P=a^5b+ab^5+\frac{6}{a^2+b^2}-3(a+b)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 31-05-2016 - 12:04

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#114 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 04-05-2016 - 21:57

Bài 62: Cho x,y,z thuộc [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$E=\frac{2(xy+yz+zx)}{xyz+2(2x+y+z)}+\frac{8}{2x(y+z)+yz+4}-\frac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-06-2016 - 20:07

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#115 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Biên tập viên
  • 1400 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 04-05-2016 - 21:57

 

 

Bài 61 Đề thi dự bị THPTQG 2015): Cho các số a,b thuộc $[\frac{1}{2};1]$. Tìm Min của:
$P=a^5b+ab^5+\frac{6}{a^2+b^2}-3(a+b)$

 

- Do $a,b$ thuộc đoạn $\left [ \frac{1}{2},1 \right ]= > 1-a\geq 0,1-b\geq 0= > (1-a)(1-b)\geq 0= > ab\geq a+b-1$

 

Do $a,b\geq \frac{1}{2}= > a+b-1\geq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1=0= > a+b-1\geq 0$

 

  Áp dụng bđt $m^{4}+n^{4}\geq \frac{(m+n)^4}{8}$

 

Từ đó ta có:

 

   $P=a^5b+ab^5+\frac{6}{a^2+b^2}-3(a+b)=ab(a^4+b^4)+\frac{6}{(a+b)^2-2ab}-3(a+b)$
$\geq (a+b-1).\frac{(a+b)^4}{8}+\frac{6}{(a+b)^2-2(a+b-1)}-3(a+b)$
$=\frac{(a+b)^5-(a+b)^4}{8}+\frac{6}{(a+b)^2-2(a+b)+2}-3(a+b)$
$= > P\geq \frac{t^5-t^4}{8}+\frac{6}{t^2-2t+2}-3t$

 

 (với $t=a+b$)

 

 Ta chứng minh $P\geq -1< = > \frac{t^5-t^4}{8}+\frac{6}{t^2-2t+2}-3t\geq -1< = > (t-2)^2(t^5+t^4+4t^3+10t^2+16)\geq 0$ 

    (Điều này luôn đúng)

 

Do đó  $P\geq -1= > P_{min}=-1< = > (a-1)(b-1)=0,a+b=2< = > a=b=1$



#116 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 04-05-2016 - 22:00

Bài 63:Cho x,y,z thuộc [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của:
$F=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

 

Mở rộng bài 63: Bài 64: Cho a,b,c,d thuộc [1;2]. Chứng minh rằng:
$(a^2+b^2+c^2+d^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2})\le 25$

 

Bài 65:Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn: $a+b+c\le 2$.Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{a\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}+\frac{b\sqrt{b}}{b+\sqrt{bc}+c}+\frac{c\sqrt{c}}{c+\sqrt{ca}+a}+\frac{1}{27\sqrt{abc}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 31-05-2016 - 12:04

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#117 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 04-05-2016 - 22:12

Bài 60: Cho a,b,c thuộc [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=abc+(1-a)(1-b)(2-c)+$$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}$$+\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{b+a+1}$

 

Bài 61 Đề thi dự bị THPTQG 2015): Cho các số a,b thuộc $[\frac{1}{2};1]$. Tìm Min của:
$P=a^5b+ab^5+\frac{6}{a^2+b^2}-3(a+b)$

Chỗ bôi xanh sai đề rồi, đề đúng phải là $\sum \frac{1}{1+a^3}$

Giải:

$P=abc+(1-a)(1-b)+\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)+\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}$

Vì $abc \leqslant 1$ $\Rightarrow \sum \frac{1}{1+a^3}\leqslant \frac{3}{1+abc}$

Ta sẽ C/m $\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c) \leqslant 1$ $(*)$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ 

$\Rightarrow \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}\leqslant \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+b+1}+\frac{c}{c+b+1}=1-\frac{1-a}{b+c+1}$

cần C/m $(1-a)(1-b)(1-c)-\frac{1-a}{b+c+1}\leq 0\Leftrightarrow (1-b)(1-c)(b+c+1)\leqslant 1$

Áp dụng $AM-GM$ ta được $(1-b)(1-c)(b+c+1)\leqslant \begin{pmatrix} \frac{1-b+1-c+b+c+1}{3} \end{pmatrix}^3=1$

Vậy $(*)$ được C/m

Có $(1-a)(1-b)=1-(a+b)+ab\leqslant 1-2\sqrt{ab}+ab=(1-\sqrt{ab})^2\leqslant (1-\sqrt{abc})^2$

$P\leq abc+(1-\sqrt{abc})^2+1+\frac{3}{1+abc}=2\sqrt{abc}(\sqrt{abc}-1)+2+\frac{3}{1+abc}\leqslant 2+3=5$

Vậy Max $P=5$ khi $a=b=c=0$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#118 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 04-05-2016 - 22:21

Bài 66: Cho a,b,c là các số thưc dương thỏa mãn: a+b+c=ab+bc+ca. Tìm GTNN của biểu thức:
$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}$

 

Bài 67: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2\le 3$.Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+bc}+\frac{1}{c^2+ca}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 31-05-2016 - 12:04

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#119 NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 05-05-2016 - 13:04

Bài 66: Cho a,b,c là các số thưc dương thỏa mãn: a+b+c=ab+bc+ca. Tìm GTNN của biểu thức:

$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}$

Bài 67: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2\le 3$.Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+bc}+\frac{1}{c^2+ca}$

Bài 66:

Áp dụng Svac-xơ ta có:

$\sum \frac{a^{4}}{ab^{2}-abc+ac^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2}-3abc}$

Ta chứng minh: $\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2}-3abc}\geq a+b+c$

$\Leftrightarrow a^{2}(a-b)(a-c)+b^{2}(b-c)(b-a)+c^{2}(c-a)(c-b)\geq 0$(luôn đúng theo Schur)

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq a+b+c\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}=3$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 67:

Áp dụng Svac-xơ ta có:

$P\geq \frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{9}{2.3}=\frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 05-05-2016 - 13:30

Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#120 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 05-05-2016 - 15:30

Bài 68: Cho a,,b,c là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=3$. Tìm Max của biểu thức:

$a^2b+b^2c+c^2a+abc+4abc(3-ab-bc-ca)$ 


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh