Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 383 trả lời

#381 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 01-07-2016 - 09:11

 

Bài 194: Cho $x,y,z>0$ là các số thực dương thỏa mãn: $xyz+x+z=y$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{2}{x^2+1}-\frac{2}{y^2+1}-\frac{4z}{\sqrt{z^2+1}}+\frac{3z}{(z^2+1)\sqrt{z^2+1}}$.

 

Giải:

GT $\Leftrightarrow xz+z.\frac{1}{y}+\frac{1}{y}.x=1$

$\Rightarrow$ Tồn tại tam giác $ABC$ sao cho $x=\tan \frac{A}{2};z=\tan \frac{B}{2};\frac{1}{y}=\tan \frac{C}{2}$

$\Rightarrow P=2\cos ^2\frac{A}{2}-2\sin ^2\frac{C}{2}-4\sin \frac{B}{2}+3\sin \frac{B}{2}\cos ^2\frac{B}{2}$

Ta có

$2\cos ^2\frac{A}{2}-2\sin ^2\frac{C}{2}=\cos A+\cos C=2\cos \frac{A+C}{2}.\cos \frac{A-C}{2}\leqslant 2\sin \frac{B}{2}$

$\Rightarrow P\leqslant 3\sin \frac{B}{2}\cos ^2\frac{B}{2}-2\sin \frac{B}{2}=-3\sin ^3\frac{B}{2}+\sin \frac{B}{2}$

Đặt $t=\sin \frac{B}{2}$ ($t \in (0;1)$)

$\Rightarrow P\leqslant f(t)=-3t^3+t$

Khảo sát hàm $f(t)$ trên $(0;1)$ ta được $f(t)\leqslant f\begin{pmatrix} \frac{1}{6} \end{pmatrix}=\frac{11}{72}$

Max $P=\frac{11}{72}$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sin \frac{B}{2} =\frac{1}{6}& & \\ \cos \frac{A-C}{2}=1 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{35}}{7};y=\frac{\sqrt{35}}{5};z=\frac{\sqrt{35}}{35}$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#382 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1651 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 01-07-2016 - 10:17

Bài 200:

 

Bài này mình làm khá dài, nếu ai có cách hay hơn thì đăng lên nha. 

Do vai trò của $x,y,z$ như nhau nên KMTTQ giả sử $x\ge y\ge z\implies z\le \frac{1}{3}\implies x+y\ge \frac{2}{3}$

$gt\implies z=1-x-y(1)$.

 

 

Đặt $x+y=a;xy=b$. Từ $(1)\implies a\in [\frac{2}{3};1];b\in [0;\frac{1}{4}]$.(d0 $4b\le a^2$).

 

Khi đó: $A=x^4(1-x)+y^4(1-y)+z^4(1-z)=(x^4+y^4)-(x^5+y^5)+a(1-a)^4$

 

Lại có: $x^4+y^4=a^4-4a^2b+2b^2;x^5+y^5=a^5-5a^3b+5ab^2$

 

Nên $A=(a^4-4a^2b+2b^2)-(a^5-5a^3b+5ab^2)+a(1-a)^4=-3a^4+a^3(6+5b)-a^2(4b+4)+a(1-5b^2)+2b^2$

$=b^2(2-5a)+b(5a^3-4a^2)+(a-4a^2+6a^3-3a^4)=f(b),b\in [0;\frac{1}{4}]$.

Nhắc lại kiến thức: Xét tam thức bậc 2: $f(x)=mx^2+nx+p(m<0),x\in [u,v]$.

 

Khi đó: $f(x)_{Max}=f(\frac{-n}{2m})$ nếu $\frac{-n}{2m}\in [u,v]$.

 

Và $f(x)_{Max}=Max({f(u);f(v)})$ nếu $\frac{-n}{2m}\noin [u,v]$.

 

Tóm lại $f(x)_{Max}=Max({f(u);f(v);f(\frac{-n}{2m})})\forall x\in [u;v]$.

Áp dụng điều này vào bài toán trên ta có: $a\in [\frac{2}{3};1]\implies 2-5a<0$

$Max A=Max{f(0),f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)}),f(\frac{1}{4})}$.

*Ta có: $f(0)=a-4a^2+6a^3-3a^4=f(a)\forall a\in [\frac{2}{3};1]$.

Đến đây khảo sát hàm $f(a)$. Ta tìm được: $Max f(a)=\frac{1}{12}$ tại $a=\frac{3+\sqrt{3}}{6}$.

Tương tự khảo sát $f(\frac{1}{4})$. Ta tìm được $Max f(\frac{1}{4})=\frac{1}{16}$ tại $a=1$.

Nhọc nhằng nhất là $f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})$ (Mình phải dùng Casio để tìm Max và Max cũng bằng 1/12).

Do $b\in [0;\frac{1}{4}]\implies \frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)} \in [0;\frac{1}{4}]\implies a\in [\frac{4}{5};1]$

Ta có: $f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})-\frac{1}{12}=\frac{25a^6-100a^5+160a^4-128a^3+52a^2-8a}{4(5a-2)}-\frac{1}{12}$

$=\frac{300a^6-1200a^5+1920a^4-1536a^3+624a^2-116a+8}{4(5a-2)}$

$=\frac{4(a-1)(75a^5-225a^4+255a^3-129a^2+27a-2)}{4(5a-2)}$.

Ta đi chứng minh: $T=75a^5-225a^4+255a^3-129a^2+27a-2\forall a\in [\frac{4}{5};1]$.

Thật vậy: $T=\frac{3(5a-4)[(5a-4)(125a^3-175a^2+65a+1)+25]}{125}+\frac{2}{125}$

Xét $125a^3-175a^2+65a+1=(125a^3+65a)-175a^2+1\ge^{CauChy} a^2(2\sqrt{125*65}-175)+1>0$

$\implies T>0$.

 

$\implies f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})-\frac{1}{12}\le 0\implies  f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})\le \frac{1}{12}$.

Vậy $Max A=\frac{1}{12}$ tại $a=1\implies b=\frac{1}{6}$.

Kết luận: Vậy $Max A=\frac{1}{12}$. Dấu $=$ xảy ra tại $a=\frac{3+\sqrt{3}}{6},b=0...v....a=1;b=\frac{1}{6}\iff (x;y;z)=(\frac{3+\sqrt{3}}{6};0;\frac{3-\sqrt{3}}{6})$ và các hoán vị.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 01-07-2016 - 10:23

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#383 VODANH9X

VODANH9X

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-07-2016 - 13:14

Bài 200:

 

Bài này mình làm khá dài, nếu ai có cách hay hơn thì đăng lên nha. 

Do vai trò của $x,y,z$ như nhau nên KMTTQ giả sử $x\ge y\ge z\implies z\le \frac{1}{3}\implies x+y\ge \frac{2}{3}$

$gt\implies z=1-x-y(1)$.

 

 

Đặt $x+y=a;xy=b$. Từ $(1)\implies a\in [\frac{2}{3};1];b\in [0;\frac{1}{4}]$.(d0 $4b\le a^2$).

 

Khi đó: $A=x^4(1-x)+y^4(1-y)+z^4(1-z)=(x^4+y^4)-(x^5+y^5)+a(1-a)^4$

 

Lại có: $x^4+y^4=a^4-4a^2b+2b^2;x^5+y^5=a^5-5a^3b+5ab^2$

 

Nên $A=(a^4-4a^2b+2b^2)-(a^5-5a^3b+5ab^2)+a(1-a)^4=-3a^4+a^3(6+5b)-a^2(4b+4)+a(1-5b^2)+2b^2$

$=b^2(2-5a)+b(5a^3-4a^2)+(a-4a^2+6a^3-3a^4)=f(b),b\in [0;\frac{1}{4}]$.

Nhắc lại kiến thức: Xét tam thức bậc 2: $f(x)=mx^2+nx+p(m<0),x\in [u,v]$.

 

Khi đó: $f(x)_{Max}=f(\frac{-n}{2m})$ nếu $\frac{-n}{2m}\in [u,v]$.

 

Và $f(x)_{Max}=Max({f(u);f(v)})$ nếu $\frac{-n}{2m}\noin [u,v]$.

 

Tóm lại $f(x)_{Max}=Max({f(u);f(v);f(\frac{-n}{2m})})\forall x\in [u;v]$.

Áp dụng điều này vào bài toán trên ta có: $a\in [\frac{2}{3};1]\implies 2-5a<0$

$Max A=Max{f(0),f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)}),f(\frac{1}{4})}$.

*Ta có: $f(0)=a-4a^2+6a^3-3a^4=f(a)\forall a\in [\frac{2}{3};1]$.

Đến đây khảo sát hàm $f(a)$. Ta tìm được: $Max f(a)=\frac{1}{12}$ tại $a=\frac{3+\sqrt{3}}{6}$.

Tương tự khảo sát $f(\frac{1}{4})$. Ta tìm được $Max f(\frac{1}{4})=\frac{1}{16}$ tại $a=1$.

Nhọc nhằng nhất là $f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})$ (Mình phải dùng Casio để tìm Max và Max cũng bằng 1/12).

Do $b\in [0;\frac{1}{4}]\implies \frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)} \in [0;\frac{1}{4}]\implies a\in [\frac{4}{5};1]$

Ta có: $f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})-\frac{1}{12}=\frac{25a^6-100a^5+160a^4-128a^3+52a^2-8a}{4(5a-2)}-\frac{1}{12}$

$=\frac{300a^6-1200a^5+1920a^4-1536a^3+624a^2-116a+8}{4(5a-2)}$

$=\frac{4(a-1)(75a^5-225a^4+255a^3-129a^2+27a-2)}{4(5a-2)}$.

Ta đi chứng minh: $T=75a^5-225a^4+255a^3-129a^2+27a-2\forall a\in [\frac{4}{5};1]$.

Thật vậy: $T=\frac{3(5a-4)[(5a-4)(125a^3-175a^2+65a+1)+25]}{125}+\frac{2}{125}$

Xét $125a^3-175a^2+65a+1=(125a^3+65a)-175a^2+1\ge^{CauChy} a^2(2\sqrt{125*65}-175)+1>0$

$\implies T>0$.

 

$\implies f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})-\frac{1}{12}\le 0\implies  f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})\le \frac{1}{12}$.

Vậy $Max A=\frac{1}{12}$ tại $a=1\implies b=\frac{1}{6}$.

Kết luận: Vậy $Max A=\frac{1}{12}$. Dấu $=$ xảy ra tại $a=\frac{3+\sqrt{3}}{6},b=0...v....a=1;b=\frac{1}{6}\iff (x;y;z)=(\frac{3+\sqrt{3}}{6};0;\frac{3-\sqrt{3}}{6})$ và các hoán vị.

Mình có cách này cũng được nhưng nhìn không tự nhiên lắm.Ta đưa về theo p,q,r.($p=x+y+z=1,q=xy+yz+zx,r=xyz$)

Ta sẽ chứng minh:$x^{4}(y+z)+y^{4}(x+z)+z^{4}(y+x)\leq \frac{1}{12}$

Thật vậy, bđt trở thành:$(1-3q)q+(5q-1)r\leq \frac{1}{12}$

  Nếu $q\leq \frac{1}{5}$ ta có $(1-3q)q+(5q-1)r\leq (1-3q)q=\frac{1}{3}(1-3q)3q\leq \frac{1}{3}(\frac{1-3q+3q}{2})^{2}=\frac{1}{12}$

  Nếu $q< \frac{1}{5}$ ta có $(1-3q)q+(5q-1)r\leq (1-3q)q+(5q-1)\frac{q}{9}=\frac{1}{36}(-88q^{2}+32q-3)+\frac{1}{12}<\frac{1}{12} $

(vì $xy+yz+zx=(xy+yz+xz)(x+y+z)\geq 9xyz\Leftrightarrow q\geq 9r$)

Bđt được chứng minh xong.

Cách này là mình xem của anh Võ Thành Văn,mình thấy hay nên up lên luôn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VODANH9X: 27-07-2016 - 13:21


#384 phuong2001

phuong2001

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HSGS

Đã gửi 11-09-2016 - 15:53

Topic này dùng để "Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2016" 

 

Yêu cầu : Không đăng quá nhiều bài một lúc tránh loãng topic.Tuân thủ đúng quy định của VMF

 

Bài nào làm được sẽ được bôi đỏ trong Topic

 

Các bạn hãy đánh số thực tự vào trước mỗi bài viết

 

$\boxed{1}$ (Đề thi thử môn Toán lần 1 chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2016)

$\dfrac{a^2}{(a+1)(b+1)bc} + \dfrac{b^2}{(b+1)(c+1)ca} +\dfrac{c^2}{(c+1)(a+1)ab} -1$

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$P=\frac{a^2}{(a+1)(b+1)bc}+\frac{b^2}{(b+1)(c+1)ca}+\frac{c^2-a^2b-ab-a-1}{(c+1)(a+1)ab}$

 

File PDF tổng hợp đề bài của tất cả các bài trong TOPIC  (Cảm ơn ĐHV THPT  phamngochung9a  đã cùng mình tổng hợp )

 

attachicon.gifTổng hợp các bài BĐT trong đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2016.pdf

Bài này làm như thế nào hả anh?Biết là bôi đỏ rồi nhưng em chưa tìm được đáp án. Khai triển được P=$\dfrac{a^2}{(a+1)(b+1)bc} + \dfrac{b^2}{(b+1)(c+1)ca} +\dfrac{c^2}{(c+1)(a+1)ab} -1$ thì làm thế nào nữa ạ?






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh