Chủ đề này có 383 trả lời

[huya1k43pbc]

15.Cho$a,b,c>0;a^2+b^2+c^2=3.Min P=(a+b+c)(\sum \frac{1}{a^2b^2+1})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19-04-2016 - 20:48

[phamngochung9a]

14.Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An lần 1 2016: Cho $x,y,z>0; 7(x^2+y^2+z^2)=11(xy+yz+zx).Max,MinP=\frac{(x+y+z)^3}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Loại bài này rất hay sử dụng tính đồng bậc ở giả thiết

Biến đổi GT thành:

$7(x+y+z)^{2}=25(xy+yz+zx)$,

Đặt:

$\left\{\begin{matrix} a=\frac{x}{x+y+z} & & \\ b=\frac{y}{x+y+z} & & \\ c=\frac{z}{x+y+z} & & \end{matrix}\right.$, ta có:

$\left\{\begin{matrix} ab+bc+ca=\frac{7}{25} & \\ a+b+c=1 & \end{matrix}\right.$

$P=\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{1}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}\\=\frac{1}{\frac{7}{25}-abc}=\frac{25}{7-25abc}$

Do $abc\leq \frac{1}{27}(a+b+c)^{3}=\frac{1}{27}<\frac{7}{25}$ nên mẫu của $P$ luôn dương, do đó, ta quy về bài toán đơn giản hơn là: tìm $max$ và $min$ của $abc$.

Ta có:

$abc=\left [\frac{7}{25}-c(1-c) \right ].c=c^{3}-c^{2}+\frac{7}{25}c$

Giả sử $a\geq b\geq c$, ta có: $c\leq \frac{1}{3}$

Xét hàm số 

$f(c)=c^{3}-c^{2}+\frac{7}{25}c\\f'(c)=3c^{2}-2c+\frac{7}{25}=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} c=\frac{1}{5} & \\ \\ c=\frac{7}{15} & \end{bmatrix}$  (với $c\in \left (0;\frac{1}{3}  \right ]$)

Lập BBT, ta được:

$abc\leq f\left ( \frac{1}{5} \right )=\frac{3}{125}$

Vậy: $\max P=\frac{125}{32}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{3}{5} & & \\ b=\frac{1}{5} & & \\ c=\frac{1}{5} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x= 3& & \\ y= 1& & \\ z= 1& & \end{matrix}\right.$

 

Chứng minh tương tự trên, nhưng ta xét hàm $f(a)=a^{3}-a^{2}+\frac{7}{25}a$ với $a\in \left [\frac{1}{3};1 \right )$, ta lại có $\min P=\frac{3375}{896}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{7}{15} & & \\ b=\frac{7}{15} & & \\ c=\frac{1}{15} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=7 & & \\ y=7 & & \\ z=1 & & \end{matrix}\right.$

 

 

P.s Bài toán này cho kết quả cứ phải gọi là "đẹp đến ảo diệu". Đi thi mà không có máy tính chắc là ngồi ngậm bút đến hết giờ :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 21-03-2016 - 22:55

[quangtq1998]

BÀI 16( Chuyên Nguyễn Trãi )
Cho $a,b \in (0,1) ; (a^3+b^3)(a+b) = ab(1-a)(1-b) $
Tìm giá trị lớn nhất của : $\frac{1}{\sqrt{1+a^2} } + \frac{1}{\sqrt{1+b^2}} + 3ab-a^2-b^2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-06-2016 - 20:00

[quangtq1998]

BÀI 17
Cho $x,y,z \ge 0 ; x+y+z= 3 ;$ Tìm max $ P = x^2y + y^2z + z^2x $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 23-03-2016 - 19:33

[quangtq1998]

$\boxed{13}$ (Đề thi thử ĐH THPT Nguyễn Khuyến - TPHCM)
 
Cho ba số thực $x,y,z$ thuộc đoạn $(0;4)$ và thỏa mãn $x+y+z=6\sqrt{2}$.Chứng minh rằng:$\frac{1}{\sqrt{16-x^2}}+\frac{1}{\sqrt{16-y^2}}+\frac{1}{\sqrt{16-z^2}}\geq \frac{8\sqrt{2}}{4}$

Có :$\frac{1}{\sqrt{16-t^2}} \ge \frac{1}{8}t $ ( vì $bdt \leftrightarrow (x^2-8)^2 \ge 0 $
Nên$ P \ge \frac{1}{8} ( x+y+z) = \frac{3\sqrt{2}}{4} $
Vậy sửa là $\frac{3\sqrt{2}}{4} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 22-03-2016 - 18:30

[I Love MC]

Bài 18 : Đề thi thử đại học lần I trung học phổ thông chuyên Quốc Học-Huế
Tìm giá trị lớn và nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{7\sqrt{5-4x}+2\sqrt{5+x-4x^2}-\sqrt{1+x}-4x+5}{\sqrt{5-4x}+2\sqrt{1+x}+6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 23-03-2016 - 19:33

[quangtq1998]

Bài 18 : Đề thi thử đại học lần I trung học phổ thông chuyên Quốc Học-Huế
Tìm giá trị lớn và nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{7\sqrt{5-4x}+2\sqrt{5+x-4x^2}-\sqrt{1+x}-4x+5}{\sqrt{5-4x}+2\sqrt{1+x}+6}$

Không biết làm cách này có được không 
DK : $-1 \leq x \leq \frac{5}{4} $
Đặt $\sqrt{5-4x} = a ; b = \sqrt{x+1} \Rightarrow a^2 + 4b^2 = 9 ; a \in [0,3] ; b \in [0,\frac{3}{2}]$
        $ P = a + \frac{a-b}{a+2b+6} $
        $ P \leq a + \frac{a}{a+6} \leq \frac{10}{3} $ Dấu "=" xảy ra khi$ x= -1 $
      $ P = a+1 - \frac{3(b+2)}{a+2b+6} \ge \frac{-3(b+2)}{2b+6} \ge \frac{-1}{6} $ Dấu "=" xảy ra khi $ x = \frac{-5}{4} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 23-03-2016 - 18:28

[phamngochung9a]

BÀI 17
Cho $x,y,z \ge 0 ; x+y+z= 3 ;$ Tìm max $ P = x^2y + y^2z + z^2x $

Giả sử $y$ nằm giữa $x$ và $z$, ta có:

$(y-z)(y-x)\leq 0\\\Rightarrow y^{2}+xz\leq xy+zy\\\Rightarrow y^{2}z+z^{2}x\leq xyz+z^{2}y\\\Rightarrow P\leq x^{2}y+xyz+z^{2}y=y(x^{2}+zx+z^{2})\leq y(x+z)^{2}=\frac{1}{2}.2y(x+z).(x+z)\leq \frac{1}{54}(2x+2y+2z)^{3}=4$

Vậy $\max P=4\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & & \\ y=1 & & \\ z=0 & & \end{matrix}\right.$

[tritanngo99]

14.Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An lần 1 2016: Cho $x,y,z>0; 7(x^2+y^2+z^2)=11(xy+yz+zx).Max,MinP=\frac{(x+y+z)^3}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Lời giải của mình là: 

Hình gửi kèm

• 

[binhbo]

19.Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{abc}+\frac{1}{(a+b)^{3}}+\frac{1}{(b+c)^{3}}+\frac{1}{(c+a)^{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhbo: 30-03-2016 - 21:00

[tungteng532000]

15.Cho$a,b,c>0;a^2+b^2+c^2=3.Min P=(a+b+c)(\sum \frac{1}{a^2b^2+1})$

Ta có: $\frac{1}{a^2b^2+1}=1-\frac{a^2b^2}{a^2b^2+1}\geq 1-\frac{ab}{2}$

Do đó $P\geq (a+b+c)(3-\frac{1}{2}\sum ab)=(a+b+c)(3-\frac{1}{4}((a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2))=(a+b+c)(\frac{15}{4}-\frac{1}{4}(a+b+c)^2)$
Đặt t=a+b+c $\Rightarrow \sqrt{3}< t\leq 3$
$P\geq t(\frac{15}{4}-\frac{1}{4}t^2)\geq \frac{9}{2} \Leftrightarrow (t-3)(t^2+3t-6)\leq 0$ đúng với $\sqrt{3}< t\leq 3$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

[tungteng532000]

19.Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{abc}+\frac{1}{(a+b)^{3}}+\frac{1}{(b+c)^{3}}+\frac{1}{(c+a)^{3}}$

Đây là 1 kết quả khá lỏng của bđt Iran 96:
Với a,b,c>=0 ta có bđt: $\sum \frac{1}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4(ab+bc+ca) }$
Còn 1 lời giải của mình:
Áp dụng bđt AM-GM ta có: 
$\sum \frac{1}{(a+b)^3}\geq \frac{3}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$\frac{3}{8abc}+\frac{3}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq \frac{3}{4}$
$\frac{5}{8abc}\geq \frac{5}{8}$ 
$\Rightarrow P\geq \frac{11}{8}$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

[Dinh Xuan Hung]

$\boxed{20}$ (Đề thi thử môn Toán lần 1/2016 trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương)

 

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c+abc=4$.Tìm giá trị nhỏ nhất của

 

$$P=\frac{a^2+b^2+c^2+abc}{(a+b+c)^2-1}$$

 

$\boxed{21}$ (Đề thi thử môn Toán lần 3/2016 trường THPT Chuyên Khoa học tự nhiên)

 

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+ab+b^2=c(a+b+c)$ .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

$$P=\frac{(a+c)^2}{2a^2+2ac+c^2}+\frac{(b+c)^2}{2b^2+2bc+c^2}+\frac{ab}{(a+b)^2}+\frac{ab}{a^2+4ab+b^2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 12-04-2016 - 17:12

[quangtq1998]

 

Đặt $a+b+c = t \Rightarrow abc = 4-t \leq \frac{t^3}{27} \Rightarrow 4 \ge t \ge 3 $

$ abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) $

$\Leftrightarrow t^3 - 4t(ab+bc+ca) + 36-9t \ge 0 $

$\Leftrightarrow t^3 - 2t(t^2-(a^2+b^2+c^2)) +36-9t \ge 0$

$ \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \ge \frac{t^3+9t-36}{2t} $

$\Rightarrow P \ge \frac{\frac{t^3+9t-36}{2t}+ 4-t}{t^2-1} = \frac{t^3-2t^2+17t-26}{2t(t^2-1)} $

$P - \frac{1}{2} \ge \frac{2(t-3)(6-t)}{t(t^2-1)} \ge 0 \Rightarrow P \ge \frac{1}{2} $

$\Rightarrow P \ge \frac{1}{2}$
Dấu "=" xảy ra chả hạn $ a=b=c=1 $

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 26-03-2016 - 18:27

[ineX]

Sôi nổi lên chứ nhỉ!

Câu 22: Đề thi thử THPT Quốc Gia lần 1 THPT Hương Khê

Với các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$

Tìm giá trị lướn nhất của biểu thức:

$P=(x^{2}-xy+y^{2})(y^{2}-yz+z^{2})(z^{2}-xz+x^{2})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ineX: 29-03-2016 - 10:56

[quangtq1998]

Sôi nổi lên chứ nhỉ!
Câu 22: Đề thi thử THPT Quốc Gia lần 1 THPT Hương Khê
Với các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$
Tìm giá trị lướn nhất của biểu thức:
$P=(x^{2}-xy+y^{2})(y^{2}-yz+z^{2})(z^{2}-xz+x^{2})$

Không mất tính tổng quát, giả sử $ z\ge y \ge x $
nên
           $z^2-xz + x^2 $                                           $ \leq (x+z)^2 $

           $x^2 -xy + y^2 = y^2 - x(y-x) $                     $\leq y^2 $

          $y^2-yz + z^2 \leq y^2-yz + z^2 +x(x + 2z-y) = y^2 -y(x+z) + (x+z)^2 $

Nên
            $P \leq (x+z)^2y^2[y^2 - y(x+z) + (x+z)^2] = 3y^3(y-3)^3 + 9y^2(y-3)^2$
Đặt $t = y(y-3) \Rightarrow t \leq 0 $
                              $P -12 \leq 3t^3 + 9t -12 = 3(t-1)(t+2)^2 \leq 0 $
nên                       $P_{max} = 12 $
Dấu "=" xảy ra chả hạn $x = 0; y=1; z = 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 28-03-2016 - 21:01

[Kaito Kuroba]

 Bài 23

 

(Trích đề thi thử lần 2 - THPT Đăkmil - đăknông)

 

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c\leqslant 3abc$ . Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

$P=\frac{a^2+b^2+2c^2}{\left ( a^2+c^2+2 \right )\sqrt{b^2+c^2}}-\frac{\left ( a^4 +b^4\right )\left ( ab+c^2 \right )^3}{a^2\left ( b^2+c^2 \right )+b^2\left ( a^2+c^2 \right )}-\frac{c^3\left ( a^3+b^3 \right )}{\sqrt[3]{\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{3}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 18-04-2016 - 23:08

[phamngochung9a]

$\boxed{21}$ (Đề thi thử môn Toán lần 3/2016 trường THPT Chuyên Khoa học tự nhiên)

 

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+ab+b^2=c(a+b+c)$ .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

$$P=\frac{(a+c)^2}{2a^2+2ac+c^2}+\frac{(b+c)^2}{2b^2+2bc+c^2}+\frac{ab}{(a+b)^2}+\frac{ab}{a^2+4ab+b^2}$$

Thực chất bài này là sử dụng bổ đề 

$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\leq \frac{2}{1+xy}$ với $xy\leq 1$

 

Biến đổi giả thiết thành $(c+a)(c+b)=(a+b)^{2}$

Ta có:

$P= \frac{1}{\left ( \frac{a}{a+c} \right )^{2}+1}+\frac{1}{\left ( \frac{b}{b+c} \right )^{2}+1}+\frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{2+\frac{(a+b)^{2}}{ab}}$

Do $\frac{a}{a+c}.\frac{b}{b+c}=\frac{ab}{(a+b)^{2}}\leq \frac{1}{4}< 1$ nên

 

$P\leq \frac{2}{1+\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}+\frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{2+\frac{(a+b)^{2}}{ab}}\\=\frac{2}{1+\frac{ab}{(a+b)^{2}}}+\frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{2+\frac{(a+b)^{2}}{ab}}$

Đặt $\frac{ab}{(a+b)^{2}}=t$  ( với $t\leq \frac{1}{4}$ )

$\Rightarrow P=\frac{2}{1+t}+t+\frac{1}{2+\frac{1}{t}}\\=\frac{2}{1+t}+t+\frac{t}{2t+1}$

Khảo sát hàm số $f(t)=\frac{2}{1+t}+t+\frac{t}{2t+1}$ trên $\left (0;\frac{1}{4} \right ]$, ta có:

$f(t)\leq f\left ( \frac{1}{4} \right )=\frac{121}{60}$

Vậy $\max P=\frac{121}{60}\Leftrightarrow ...........$

[thanhnam2000]

Bài 24:Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$. Tìm GTNN của 

   $P=\frac{16}{\sqrt{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+1}}+\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z}$

 

_Đề thi thử Chu Văn An Sơn La_

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19-04-2016 - 20:48

[Dinh Xuan Hung]

Sory mọi người mấy hôm nay đang ôn thi nên bận quá

 

Bài 25 (Đề THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - Lần 3 -2016)

 

Cho $a,b,c$ là ba số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm Min

 

$P=\frac{ac}{b+ac}+\frac{b}{a+bc}+\frac{9(a^3+b^3+c^3)+12c^2+12(ab+bc+ac)+a+b+c}{6(c+ab)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 12-04-2016 - 17:12