Chủ đề này có 383 trả lời

[quanguefa]

Mọi người cho mình hỏi ngoài lề (không biết hỏi chỗ nào cho hợp lý, mod thông cảm)

1.Thi Đại Học được dùng pp chuẩn hóa BĐT không (mặc dù cũng hiếm khi cần đến).

2.Thi ĐH mình trình bày ngắn gọi như kiểu trình bày trong barem điểm thì có full điểm không (ý mình là trình bày tắt (đủ ý) kiểu đáp án chứ không phải là làm theo cách giống đáp án). Tại mình thấy đáp án thường làm gắn gọn vắn tắt (đôi khi bỏ bước nhỏ), làm kiểu đó mà kiểm tra là thầy mình trừ điểm liền

[ngochapid]

Bài 35: Cho $0\leq a,b\leq 1$ 

Tim $maxP=\frac{a}{\sqrt{2b^2+5}}+\frac{b}{\sqrt{2a^2+5}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-06-2016 - 20:01
Lần sau ghi rõ nguồn

[Dinh Xuan Hung]

Bài 34:

Cho x, y, z thực dương: $x+y-1=z$

Tìm GTNN của: $P=\sum \frac{x^3}{x+yz}+\frac{14}{(x+1)\sqrt{(y+1)(z+1)}}$

Theo Cauchy_Swatch ta có : $\frac{x^3}{x+yz}+\frac{y^3}{y+xz}\geq \frac{(x+y)^3}{2(x+y+yz+xz)}=\frac{(x+y)^3}{2(x+y)(1+z)}=\frac{(x+y)^2}{2(z+1)}=\frac{(z-1)^2}{2(z+1)}$  (Do $x+y=z-1$)

 

 Mà $\frac{z^3}{z+xy}=\frac{4z^3}{4z+4xy}\geq \frac{4z^3}{4z+(x+y)^2}=\frac{4z^3}{4z+(z-1)^2}=\frac{4z^3}{(z+1)^2}$

 

  $(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}\leq (z+1).\frac{x+y+2}{2}=\frac{(z+1)(z-1+2)}{2}=\frac{(z+1)^2}{2}= > \frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}\geq \frac{28}{(z+1)^2}$

 

Từ đó $= > P\geq \frac{(z-1)^2}{2(z+1)}+\frac{4z^3}{(z+1)^2}+\frac{28}{(z+1)^2}=> 2P\geq \frac{(z-1)^2}{z+1}+\frac{8z^3}{(z+1)^2}+\frac{56}{(z+1)^2}=\frac{(z-1)^2(z+1)+8z^3+56}{(z+1)^2}=f(z)$

 

  Ta chứng minh $f(z)\geq \frac{53}{4}< = > \frac{(z-1)^2(z+1)+8z^3+56}{(z+1)^2}\geq \frac{53}{4}$
$< = > \frac{9z^3-z^2-z+57}{z^2+2z+1}\geq \frac{53}{4}< = > 36z^3-4z^2-4z+228\geq 53z^2+106z+53$
$< = > 36z^3-57z^2-110z+175\geq 0< = > 12z^2(3z-5)+z(3z-5)-35(3z-5)\geq 0$
$< = > (3z-5)(12z^2+z-35)\geq 0< = > (3z-5)(4z(3z-5)+7(3z-5))\geq 0$
$< = > (3z-5)^2(4z+7)\geq 0$ (Luôn đúng)

 

 Do đó $2P\geq f(z)\geq \frac{53}{4}= > P\geq \frac{53}{8}= > P_{Min}=\frac{53}{8}< = > \left\{\begin{matrix} x=y & & \\ z=\frac{5}{3} & & \\ x+y+1=z & & \end{matrix}\right.< = > \left\{\begin{matrix} x=y=\frac{1}{3} & \\ z=\frac{5}{3} & \end{matrix}\right.$

[Dinh Xuan Hung]

Bài 32 (Thi thử THPT Quốc gia 2016 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)

Cho $a,b,c$ dương thoả $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3$. Tìm GTNN :

$$P=(a+1)(b+1)(c+1)+\dfrac{4}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}$$

[Dinh Xuan Hung]

Bài 35: Cho $0\leq a,b\leq 1$ 

Tim $maxP=\frac{a}{\sqrt{2b^2+5}}\frac{b}{\sqrt{2a^2+5}}$

Đề của bạn có ghi thiếu gì không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19-04-2016 - 16:50

[hoduchieu01]

Đề của bạn có ghi thiếu gì không?

bài đấy đã có ở đâyhttp://diendantoanho...5fracbsqrt2a25/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoduchieu01: 19-04-2016 - 16:58

[hoduchieu01]

phương pháp chuẩn hóa bất đẳng thức là gì vậy ai giải thích được ko

[quanguefa]

phương pháp chuẩn hóa bất đẳng thức là gì vậy ai giải thích được ko

bạn xem ở đây http://diendantoanho...-chuẩn-hoa-bdt/

và đây: http://diendantoanho...-bất-đẳng-thức/

Nhìu tài liệu về BĐT cũng có nói tới cái này mà bạn

 

klq nhưng câu 35 chả mang dáng dấp đề đại học tý nào :3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 19-04-2016 - 21:11

[quanguefa]

Theo Cauchy_Swatch ta có : $\frac{x^3}{x+yz}+\frac{y^3}{y+xz}\geq \frac{(x+y)^3}{2(x+y+yz+xz)}=\frac{(x+y)^3}{2(x+y)(1+z)}=\frac{(x+y)^2}{2(z+1)}=\frac{(z-1)^2}{2(z+1)}$  (Do $x+y=z-1$)

 

 Mà $\frac{z^3}{z+xy}=\frac{4z^3}{4z+4xy}\geq \frac{4z^3}{4z+(x+y)^2}=\frac{4z^3}{4z+(z-1)^2}=\frac{4z^3}{(z+1)^2}$

 

  $(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}\leq (z+1).\frac{x+y+2}{2}=\frac{(z+1)(z-1+2)}{2}=\frac{(z+1)^2}{2}= > \frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}\geq \frac{28}{(z+1)^2}$

 

Từ đó $= > P\geq \frac{(z-1)^2}{2(z+1)}+\frac{4z^3}{(z+1)^2}+\frac{28}{(z+1)^2}=> 2P\geq \frac{(z-1)^2}{z+1}+\frac{8z^3}{(z+1)^2}+\frac{56}{(z+1)^2}=\frac{(z-1)^2(z+1)+8z^3+56}{(z+1)^2}=f(z)$

 

  Ta chứng minh $f(z)\geq \frac{53}{4}< = > \frac{(z-1)^2(z+1)+8z^3+56}{(z+1)^2}\geq \frac{53}{4}$
$< = > \frac{9z^3-z^2-z+57}{z^2+2z+1}\geq \frac{53}{4}< = > 36z^3-4z^2-4z+228\geq 53z^2+106z+53$
$< = > 36z^3-57z^2-110z+175\geq 0< = > 12z^2(3z-5)+z(3z-5)-35(3z-5)\geq 0$
$< = > (3z-5)(12z^2+z-35)\geq 0< = > (3z-5)(4z(3z-5)+7(3z-5))\geq 0$
$< = > (3z-5)^2(4z+7)\geq 0$ (Luôn đúng)

 

 Do đó $2P\geq f(z)\geq \frac{53}{4}= > P\geq \frac{53}{8}= > P_{Min}=\frac{53}{8}< = > \left\{\begin{matrix} x=y & & \\ z=\frac{5}{3} & & \\ x+y+1=z & & \end{matrix}\right.< = > \left\{\begin{matrix} x=y=\frac{1}{3} & \\ z=\frac{5}{3} & \end{matrix}\right.$

Sr m.n mình ghi đề bị nhầm nhiều quá, để sửa lại ngay, ban hùng tự sửa đề làm luôn rồi mà lại ko nói :3

hùng ơi chỗ này hơi khó hiểu, giải thích giùm $\frac{x^3}{x+yz}+\frac{y^3}{y+xz}\geq \frac{(x+y)^3}{2(x+y+yz+xz)}$

[ineX]

Bài 36: Trích đề thi thử đại học lần 2 trường THPT Đoàn Thượng

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

TÌm giá trị lớn nhất của:

$A=\frac{ab}{3+c^{2}}+\frac{bc}{3+a^{2}}-\frac{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}}{24a^{3}c^{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-06-2016 - 20:02

[quanguefa]

Bài 37. (trích đề KSCL Quảng Nam)

Cho a, b, c dương thỏa: $\frac{4a}{b}(1+\frac{2c}{b})+\frac{b}{a}(1+\frac{c}{a})=6$

Tìm GTNN: $P=\frac{bc}{a(b+2c)}+\frac{2ca}{b(c+a)}+\frac{2ab}{c(2a+b)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-06-2016 - 20:03

[quanguefa]

Bài 34:

Cho x, y, z thực dương: $x+y+1=z$

Tìm GTNN của: $P=\sum \frac{x^3}{x+yz}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}$

Đây là cách của mình, về bản chất cũng giống cách của bạn Hùng nhưng biến đổi khác 1 tý

Thay z=x+y+1 vào biểu thức ta có:

 

$\sum \frac{x^3}{x+yz}=\frac{x^3}{(x+y)(y+1)}+\frac{y^3}{(x+y)(x+1)}+\frac{z^3}{(x+1)(y+1)}$

 

                     $=\frac{x^3(x+1)+y^3(y+1)+z^3(x+y)}{(x+y)(x+1)(y+1)}$

 

                     $=\frac{x^3+y^3+x^4+y^4+z^3(x+y)}{(x+y)(x+y+xy+1)}$

 

                     $\geq \frac{\frac{(x+y)^4}{8}+\frac{(x+y)^3}{4}+z^3(x+y)}{(x+y)[\frac{(x+y)^2}{4}+x+y+1]}$

 

                     $=\frac{(x+y)^3+2(x+y)^2+z^3}{2(x+y)^2+8x+8y+8}=\frac{(z-1)^2(z+1)+z^3}{2(z+1)^2}$

 

Phần còn lại làm giống bạn hùng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 20-04-2016 - 01:13

[huya1k43pbc]

Bài 38: (Thi thử sở Hà tĩnh)

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{16}{x+y+z}$. Tìm giá trị lớn nhất của  

 

$$P=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{xyz}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-06-2016 - 20:03

[Juliel]

Bài 36: Trích đề thi thử đại học lần 2 trường THPT Đoàn Thượng

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

TÌm giá trị lớn nhất của:

$A=\frac{ab}{3+c^{2}}+\frac{bc}{3+a^{2}}-\frac{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}}{24a^{3}c^{3}}$

Lời giải :

 

Ta có :

$$\dfrac{ab}{3+c^2}=\dfrac{ab}{(c^2+a^2)+(c^2+b^2)}\leq \dfrac{1}{4}.\dfrac{(a+b)^2}{(c^2+a^2)+(c^2+b^2)}\leq \dfrac{1}{4}\left ( \dfrac{a^2}{c^2+a^2}+\dfrac{b^2}{c^2+b^2} \right )\leq \dfrac{1}{4}\left ( \dfrac{a^2}{c^2+a^2}+\dfrac{b}{2c} \right )$$

Hoàn toàn tương tự :

$$\dfrac{bc}{3+a^2}\leq \dfrac{1}{4}\left ( \dfrac{c^2}{c^2+a^2}+\dfrac{b}{2a} \right )$$

Suy ra :

$$\dfrac{ab}{3+c^2}+\dfrac{bc}{3+a^2}\leq \dfrac{1}{4}\left ( 1+\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c} \right ) \right )=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}\left ( \dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c} \right )$$

Và :

$$24A\leq 6+3\left ( \dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c} \right )-\left ( \frac{b^{3}}{a^3}+\dfrac{c^3}{a^3} \right )$$

Dễ dàng chứng minh được :

$$3x-x^3\leq 2\;\;\;\;(x>0)$$

Suy ra :

$$24A\leq 6+\left ( \dfrac{3b}{a}-\dfrac{b^3}{a^3} \right )+\left ( \dfrac{3b}{c} -\dfrac{b^3}{c^3}\right )\leq 6+2+2=10\Leftrightarrow A\leq \dfrac{5}{12}$$

Kết luận :

$$A_{max}=\dfrac{5}{12}\Leftrightarrow a=b=c=1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 23-04-2016 - 19:54

[Juliel]

Bài 38 : $Cho x,y,z>0 ; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{16}{x+y+z}.MaxP=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{xyz}$(Thi thử sở Hà tĩnh)

Lời giải : 

 

Gỉa thiết đã cho có thể viết được dưới dạng :

$$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}=13$$

Và : 

$$P=\left ( 1-\dfrac{y}{x} \right )\left ( 1-\dfrac{z}{y} \right )\left ( 1-\dfrac{x}{z} \right )$$

Đặt $a=\dfrac{y}{x},b=\dfrac{z}{y},c=\dfrac{x}{z}$ thì $abc=1$. Gỉa thiết đã cho trở thành $a+b+c+ab+bc+ca=13$.

Và biểu thức trở thành :

$$P=(1-a)(1-b)(1-c)=(1-abc)+(ab+bc+ca-a-b-c)=13-2(a+b+c)$$

Sử dụng hai giả thiết :

$$(a+b)+c(a+b)+\dfrac{1}{c}+c=13\Leftrightarrow (a+b)(c+1)=13-\dfrac{1}{c}-c\Leftrightarrow a+b=\dfrac{13c-c^2-1}{c(c+1)}$$

Thay vào $P$ :

$$P=13-2\left ( \frac{13c-c^2-1}{c(c+1)}+c \right )=\dfrac{-2c^3+13c^2-13c+2}{c(c+1)}=f(c),c>0$$

$$f'(c)=\dfrac{-2(c^2-3c+1)(c^2+5c+1)}{c^2(c+1)^2}$$

Từ đó dễ dàng thấy :

$$f_{max}=\sqrt{5}\Leftrightarrow c=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$$

Từ đó :

Gía trị lớn nhất của $P$ là $\sqrt{5}$, đạt được khi chẳng hạn $a=c=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},b=\dfrac{1}{2}\left ( 7-3\sqrt{5} \right )$ tức $y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}.x=\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}.z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 23-04-2016 - 20:39

[phamngochung9a]

Bài 37. (trích đề KSCL Quảng Nam)

Cho a, b, c dương thỏa: $\frac{4a}{b}(1+\frac{2c}{b})+\frac{b}{a}(1+\frac{c}{a})=6$

Tìm GTNN: $P=\frac{bc}{a(b+2c)}+\frac{2ca}{b(c+a)}+\frac{2ab}{c(2a+b)}$

Đổi biến: $\left ( a;b;c \right )\rightarrow \left ( \frac{a}{2};b;\frac{c}{2} \right )$

Ta cần tìm GTNN của $P=\frac{bc}{a\left ( b+c \right )}+\frac{ca}{b\left ( c+a \right )}+\frac{2ab}{c\left ( a+b \right )}$

Giả thiết trở thành:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{ac}{b^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}=3\\\Rightarrow 3\geq \frac{a^{2}+b^{2}}{ab}+c.\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{ab\left ( a+b \right )}\\\geq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{2ab}+c.\frac{a+b}{ab}$

$\Rightarrow \frac{ab}{a+b}\geq \frac{a+b}{6}+\frac{c}{3}$

Khi đó:

$P\geq \frac{\left ( ac+bc \right )^{2}}{abc\left ( a+b+2c \right )}+\frac{2}{c}\left ( \frac{a+b}{6}+\frac{c}{3} \right )\geq \frac{4c}{a+b+2c}+\frac{a+b}{3c}+\frac{2}{3}$

Đặt $\frac{a+b}{c}=t$, ta có: $3\geq 2+2\frac{c}{\sqrt{ab}}\Rightarrow \frac{a+b}{c}\geq 4$

 $P\geq \frac{4}{t+2}+\frac{t}{3}+\frac{2}{3}$

Khảo sát hàm số trên với $t\geq 4$, ta chứng minh được $P\geq \frac{8}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 23-04-2016 - 21:04

[phamngochung9a]

Bài 39  (Đề thi thử của sở GD-ĐT Hà Nội năm 2016)

 Xét các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+xz+10yz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                                                  $P=8xyz-\frac{3x^{3}}{y^{2}+z^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 23-04-2016 - 21:38
Câu 40 trùng với câu 10 rồi

[Dinh Xuan Hung]

Bài 39  (Đề thi thử của sở GD-ĐT Hà Nội năm 2016)

 Xét các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+xz+10yz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                                                  $P=8xyz-\frac{3x^{3}}{y^{2}+z^{2}}$

Đặt $x=4a;y=b;z=c (a,b,c>0)$

Khi đó $P=32abc-\frac{192a^3}{b^2+c^2}$

GT$\Rightarrow 16a^2+b^2+c^2=4ab+4ac+10bc\Leftrightarrow 16a^2+(b+c)^2=4a(b+c)+12bc$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$4a(b+c)+12bc\leq 4a^2+(b+c)^2+12bc\Leftrightarrow 16a^2+(b+c)^2\leq 4a^2+(b+c)^2+12bc\Leftrightarrow a^2\leq bc\Leftrightarrow a^3\leq abc$ 

$\frac{a^3}{b^2+c^2}\leq \frac{a^3}{2bc}\leq \frac{a^3}{2a^2}=\frac{a}{2}$

$\Rightarrow P\geq 31a^3-96a=f(a)$

$f'(a)=96a^2-96=0\Leftrightarrow a=1$

$\Rightarrow Min P=\underset{(0;+\infty )}{min}f(a)=f(1)=-64$

Dấu "=" xảy ra khi $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2a=b+c & & \\ a^2=bc & & \\ a=1 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=1\Leftrightarrow x=4;y=z=1$

[Juliel]

Bài 40 (Thi thử ĐH 2014 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)

Cho $a,b,c>0$ thoả $\left ( 3a+2b+c \right )\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+ \dfrac{3}{c}\right )=30$. Tìm GTLN :

$$P=\frac{b+2c-7\sqrt{72a^2+c^2}}{a}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 24-04-2016 - 15:12

[Dinh Xuan Hung]

Bài 40 (Thi thử ĐH 2014 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)

Cho $a,b,c>0$ thoả $\left ( 3a+2b+c \right )\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+ \dfrac{3}{c}\right )=30$. Tìm GTLN :

$$P=\frac{b+2c-7\sqrt{72a^2+c^2}}{a}$$