Đến nội dung

Hình ảnh

$(x^2+1)^y-(x^2-1)^y=(2x)^y$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Giải phương trình nghiệm nguyên dương : $(x^2+1)^y-(x^2-1)^y=(2x)^y$



#2
olympiachapcanhuocmo

olympiachapcanhuocmo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

-Xét y=0 (Loại)

-Xét y$\neq$ 0

   + Dễ thấy : y chẵn ( Xét mod x)

      Đặt $a=x^{2}+1$

             $b=x^{2}-1$       , ta có : $a^{y}-b^{y}=[(a-b).x]^{y}$

  $\Rightarrow a^{y}-b^{y}\vdots \left ( a-b \right )^{y}$

Đến đây thì mình chưa lập luận được tiếp ....nhưng chắc hẳn cũng sẽ sắp ra

Các bạn tiếp tục hộ mình nhé

   

 


                                                                                               


#3
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết
Một lời giải xấu xí.
Viết lại PT, $(x^{2} + 1)^{y} = (x^{2} - 1)^{y} + (2x)^{y}$
Nếu $y \ge 3$, theo định lý Fermat lớn thì không tồn tại bộ nguyên dương. Điều đó nghĩa là một trong các số $x^{2} + 1; x^{2} - 1; 2x$ bằng $0$
Dễ thấy $x^{2} + 1$ và $2x$ khác $0$ nên chỉ có thể $x^{2} = 1$ hay $x = 1$. Thế lại ta có nó đúng với mọi $y \ge 3$
Nếu $y = 1$ thì suy ra $x = 1$
Nếu $y = 2$ thì viết lại pt $x^{4} + 2x^{2} + 1 = x^{4} - 2x^{2} + 1 + 4x^{2}$ điều này luôn đúng. Nghĩa là $(x, y) = (t, 2)$ là nghiệm với $t$ nguyên dương bất kì
Vậy ta có các nghiệm $(x, y) = (1, t), (t, 2)$.
P.s: mình nghĩ mình còn 1 lgiai nữa không dùng đến Fermat lớn nhưng hiện tại không ở nhà nên sẽ post sau :-D

#4
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Một lời giải xấu xí.
Viết lại PT, $(x^{2} + 1)^{y} = (x^{2} - 1)^{y} + (2x)^{y}$
Nếu $y \ge 3$, theo định lý Fermat lớn thì không tồn tại bộ nguyên dương. Điều đó nghĩa là một trong các số $x^{2} + 1; x^{2} - 1; 2x$ bằng $0$
Dễ thấy $x^{2} + 1$ và $2x$ khác $0$ nên chỉ có thể $x^{2} = 1$ hay $x = 1$. Thế lại ta có nó đúng với mọi $y \ge 3$
Nếu $y = 1$ thì suy ra $x = 1$
Nếu $y = 2$ thì viết lại pt $x^{4} + 2x^{2} + 1 = x^{4} - 2x^{2} + 1 + 4x^{2}$ điều này luôn đúng. Nghĩa là $(x, y) = (t, 2)$ là nghiệm với $t$ nguyên dương bất kì
Vậy ta có các nghiệm $(x, y) = (1, t), (t, 2)$.
P.s: mình nghĩ mình còn 1 lgiai nữa không dùng đến Fermat lớn nhưng hiện tại không ở nhà nên sẽ post sau :-D

Đúng thật là rất xấu xí khi đây là một bài trong đề học sinh giỏi THCS (em nói thật). Nghĩ lại thì em cũng có 1 lời giải dùng đến Newton



#5
olympiachapcanhuocmo

olympiachapcanhuocmo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Đúng thật là rất xấu xí khi đây là một bài trong đề học sinh giỏi THCS (em nói thật). Nghĩ lại thì em cũng có 1 lời giải dùng đến N

Bạn có thể trình bày cụ thể về cách của bạn được không ? Theo tớ THCS thì không nên sử dụng các kiến thức quá cao cấp !


                                                                                               


#6
phamhuy1801

phamhuy1801

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết

Vô tình đọc được http://diendantoanho...guyên/?p=380588  :mellow:






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh