Chủ đề này có 63 trả lời

[Trung Kenneth]

 

Đề thi số 2

Câu 1:  Cho biểu thức $A=(\frac{x+2}{2-x}-\frac{4x^2}{x^2-4}-\frac{2-x}{x+2}):\frac{x^2-2x}{2x^2-x^3}$

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm x để A>0

c, Tìm x nguyên để $\frac{-1}{A}$ là số chính phương

 

Câu 1/c:

Để $\frac{-1}{A}$ là số chính phương thì $\frac{-1}{A}$ phải là số nguyên dương 

$\Rightarrow \frac{2-x}{4x^2}\in Z^{+}\Rightarrow 2-x\vdots (2x)^2\Rightarrow 2-x\vdots 2x\Rightarrow 4-2x\vdots 2x \Rightarrow 4\vdots 2x$

Vì $x\in Z\Rightarrow 2x\in Ư(4)$ $\Rightarrow x\in \left \{ 1;-1;2;-2 \right \}$(do x nguyên)

Kết hợp với ĐKXĐ $\Rightarrow x\in \left \{ 1;-1 \right \}$

Thử x=1,x=-1 không thỏa mãn 

Vậy không có x

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-03-2016 - 10:58
trích dẫn

[Trung Kenneth]

 

Đề thi số 2

 

Câu 5:

Cho $\triangle ABC$ vuông tại A, đường cao AH. K và I lần lượt là giao điểm 3 đường phân giác của $\triangle ACH ; \triangle ABH$. KI cắt AB,AC tại M và N. Chứng minh:

a, $\triangle AHI\sim \triangle CHK$

b, $\triangle HIK\sim \triangle ABC$

c, $\triangle AMN$ vuông cân

d, $\frac{S_{ABH}}{S_{ABC}}=\frac{S_{BIH}}{S_{ABG}}$ Biết rằng G là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$ 

 

Câu 5/d:

Xét $\triangle BIH\sim \triangle BGA(g-g)$: $\widehat{ABI}=\widehat{HBI}$; $\widehat{IHA}=\widehat{GAB}=45$

$\Rightarrow \frac{S_{BIH}}{S_{ABG}}=(\frac{BH}{AB})^2$

Vì $\triangle ABH\sim \triangle CBA(g-g)\Rightarrow \frac{BH}{AB}=\frac{AH}{AC}$

Ta có: $\frac{S_{ABH}}{S_{ABC}}= \frac{AH.BH}{AB.AC}=\frac{AH}{AC}.\frac{BH}{AB}$=$(\frac{BH}{AB})^2$ => ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-03-2016 - 11:29

[tpdtthltvp]

 

 

Đề thi số 2

Câu 5:

Cho $\triangle ABC$ vuông tại A, đường cao AH. K và I lần lượt là giao điểm 3 đường phân giác của $\triangle ACH ; \triangle ABH$. KI cắt AB,AC tại M và N. Chứng minh:

a, $\triangle AHI\sim \triangle CHK$

b, $\triangle HIK\sim \triangle ABC$

c, $\triangle AMN$ vuông cân

d, $\frac{S_{ABH}}{S_{ABC}}=\frac{S_{BIH}}{S_{ABG}}$ Biết rằng G là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$ 

 

Câu 5/c:

Giải quyết nốt đề 2.

Ta dễ dàng chứng minh được: $BG \perp AK,CG \perp AI\Rightarrow IG \perp AK,KG \perp AI\Rightarrow G$ là trực tâm $\Delta{AIK}$ 

$\Rightarrow AG \perp IK$ hay $AG \perp MN$ mà $AG$ là phân giác của $\widehat{MAN}\Rightarrow \Delta AMN$ vuông cân tại $A$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-03-2016 - 17:59

[tpdtthltvp]

Mọi người làm tạm đề này đã!

ĐỀ THI SỐ 3

Bài 1: Cho:

$$A=\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}:\left ( \frac{x+1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{2-x^2}{x^2-x} \right )$$

        a) Rút gọn $A$.

        b) Tìm $x$ để $A<1$

        c) Tìm $GTNN$ của $A$ khi $x>1$

 

Bài 2: Tìm $GTNN$ của

$$A=a^4-2a^3+3a^2-4a+5$$

 

Bài 3: Chứng minh BĐT:

$$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$$

 

Bài 4: Tìm $GTNN$ của $A=a^3+b^3+c^3$. Biết $a\geq -1;b\geq -1;c\geq -1$ và $a+b+c=0$

 

Bài 5: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

 

Bài 6: Cho $\Delta{ABC}$ đều, $M$ là trung điểm của $BC$. Một góc $\widehat{xMy}=60^o$ quay quanh điểm $M$ sao cho $2$ cạnh $Mx,My$ luôn cắt cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Chứng minh:

      a) $DM,EM$ lần lượt là tia phân giác của các góc $\widehat{BDE}$ và $\widehat{CED}.$

      b) Chu vi $\Delta ADE$ không đổi.

     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-03-2016 - 12:34

[NTA1907]

 

Bài 2: Tìm $GTNN$ của $A=a^4-2a^3+3a^2-4a+5$   

Góp vui vài bài!! 

$a^{2}(a-1)^{2}+2(a-1)^{2}+3\geq 3$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-03-2016 - 12:10

[NTA1907]

Bài 3: Chứng minh BĐT:

$$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$$

Bài này giống bài bất đẳng thức ở đề 1...

TH1: $x,y$ cùng dấu

Ta có: $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\Leftrightarrow (x-y)^{2}\geq 0$(luôn đúng) 

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

$P=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+3=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq (2-\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{4}=1$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y$

TH2: $x,y$ khác dấu

$P=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+3$

Vì x,y trái dấu nên $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\leq -2 \Rightarrow P\geq 4+6+3=13$

Vậy $MinP=1$

[tpdtthltvp]

 

ĐỀ THI SỐ 3

 

Bài 4: Tìm $GTNN$ của $A=a^3+b^3+c^3$. Biết $a\geq -1;b\geq -1;c\geq -1$ và $a+b+c=0$

 

Ta có: $a\geq -1$ suy ra: $(a+1)(a-\frac{1}{2})^2\geq 0$ Hay:

$$a^3-\frac{3}{4}a+\frac{1}{4}\geq 0$$

Chứng minh tương tự, có:

$$b^3-\frac{3}{4}b+\frac{1}{4}\geq 0$$

$$c^3-\frac{3}{4}c+\frac{1}{4}\geq 0$$

Cộng các vế $3$ BĐT trên lại, ta được:

$$a^3+b^3+c^3+\frac{3}{4}(a+b+c)+\frac{3}{4}\geq 0$$

Mà $a+b+c=0$ nên:

$$a^3+b^3+c^3\geq -\frac{3}{4}$$

Dấu "=" xảy ra khi trong $3$ số $a,b,c$ có $1$ số bằng $-1$, hai số bằng $\frac{1}{2}$

 

P/S: Nhiệt tình lên mọi người!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-03-2016 - 17:58

[anhtukhon1]

 

ĐỀ THI SỐ 3

 

Bài 5: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

 

Bài 5:

$(a+b+c).\frac{a+b-c}{4}=a+b+c\Rightarrow a+b-c=4;a+b+c=\frac{ab}{2}\Rightarrow 2(a+b)=4+\frac{ab}{2}\Rightarrow 4a+4b=8+ab\Rightarrow a(b-4)-4(b-4)=8\Rightarrow (a-4)(b-4)=8\Rightarrow ...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-03-2016 - 13:14

[tquangmh]

Mọi người làm tạm đề này đã!

ĐỀ THI SỐ 3

Bài 1: Cho:

$$A=\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}:\left ( \frac{x+1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{2-x^2}{x^2-x} \right )$$

        a) Rút gọn $A$.

        b) Tìm $x$ để $A<1$

        c) Tìm $GTNN$ của $A$ khi $x>1$

 

Bài 2: Tìm $GTNN$ của

$$A=a^4-2a^3+3a^2-4a+5$$

 

Bài 3: Chứng minh BĐT:

$$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$$

 

Bài 4: Tìm $GTNN$ của $A=a^3+b^3+c^3$. Biết $a\geq -1;b\geq -1;c\geq -1$ và $a+b+c=0$

 

Bài 5: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

 

Bài 6: Cho $\Delta{ABC}$ đều, $M$ là trung điểm của $BC$. Một góc $\widehat{xMy}=60^o$ quay quanh điểm $M$ sao cho $2$ cạnh $Mx,My$ luôn cắt cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Chứng minh:

      a) $DM,EM$ lần lượt là tia phân giác của các góc $\widehat{BDE}$ và $\widehat{CED}.$

      b) Chu vi $\Delta ADE$ không đổi.

     

 

Bài 1 :  $ĐKXĐ : x \neq 1;0$

a/ Có : $A=\frac{x^{2}+x}{(x-1)^{2}}:[\frac{x+1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{2-x^{2}}{x^{2}-x}]=\frac{x(x+1)}{(x-1)^{2}}:\frac{(x+1)(x-1)+x+2-x^{2}}{x(x-1)}=\frac{x(x+1)}{(x-1)^{2}}.\frac{x(x-1)}{x+1}=\frac{x^{2}}{x-1}$

 

b/ Có : $A<1\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x-1}<1\Leftrightarrow \frac{x^{2}-x+1}{x-1}<0$ . Sử dụng bảng xét dấu. Ta có : $A<1 \Leftrightarrow x < 1$

 

c/ Mình chịu!

 

Bài 2 : 

 

$a^{2}(a-1)^{2}+2(a-1)^{2}+3\geq 3$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=1$

 

 

Bài 3 : 

 

Bài này giống bài bất đẳng thức ở đề 1...

TH1: $x,y$ cùng dấu

Ta có: $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\Leftrightarrow (x-y)^{2}\geq 0$(luôn đúng) 

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

$P=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+3=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq (2-\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{4}=1$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y$

TH2: $x,y$ khác dấu

$P=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+3$

Vì x,y trái dấu nên $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\leq -2 \Rightarrow P\geq 4+6+3=13$

Vậy $MinP=1$

 

 

Bài 4: 

 

Ta có: $a\geq -1$ suy ra: $(a+1)(a-\frac{1}{2})^2\geq 0$ Hay:

$$a^3-\frac{3}{4}a+\frac{1}{4}\geq 0$$

Chứng minh tương tự, có:

$$b^3-\frac{3}{4}b+\frac{1}{4}\geq 0$$

$$c^3-\frac{3}{4}c+\frac{1}{4}\geq 0$$

Cộng các vế $3$ BĐT trên lại, ta được:

$$a^3+b^3+c^3+\frac{3}{4}(a+b+c)+\frac{3}{4}\geq 0$$

Mà $a+b+c=0$ nên:

$$a^3+b^3+c^3\geq -\frac{3}{4}$$

Dấu "=" xảy ra khi trong $3$ số $a,b,c$ có $1$ số bằng $-1$, hai số bằng $\frac{1}{2}$

 

 

 

 

 

Bài 6 : 

 

a) $\Delta DBM \sim \Delta MCE (g.g)$ vì : $\left\{\begin{matrix} \widehat{B}=\widehat{C}=60^{O}\\\widehat{DMB}=\widehat{MEC} (do :\widehat{DMB}+\widehat{EMC}=\widehat{EMC}+\widehat{MEC})=120^{O} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{BD}{MC}=\frac{MD}{EM}\Rightarrow \frac{BD}{MD}=\frac{MC}{EM}$ , mà : $BM=MC(gt)$

$\Rightarrow \frac{BD}{MD}=\frac{BM}{EM} ; \widehat{ABC}=\widehat{DME}(=60^{O}) \Rightarrow \Delta DBM \sim \Delta DME (c.g.c)\Rightarrow \widehat{BDM}=\widehat{EDM}\Rightarrow đpcm$

Tương tự với EM.

 

b) Đang suy nghĩ !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-03-2016 - 18:02

[anhtukhon1]

 

 

 

ĐỀ THI SỐ 3

Bài 1: Cho:

$$A=\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}:\left ( \frac{x+1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{2-x^2}{x^2-x} \right )$$

        a) Rút gọn $A$.

        b) Tìm $x$ để $A<1$

        c) Tìm $GTNN$ của $A$ khi $x>1$

 

Bài 1 :  $ĐKXĐ : x \neq 1;0$

a/ Có : $A=\frac{x^{2}+x}{(x-1)^{2}}:[\frac{x+1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{2-x^{2}}{x^{2}-x}]=\frac{x(x+1)}{(x-1)^{2}}:\frac{(x+1)(x-1)+x+2-x^{2}}{x(x-1)}=\frac{x(x+1)}{(x-1)^{2}}.\frac{x(x-1)}{x+1}=\frac{x^{2}}{x-1}$

 

b/ Có : $A<1\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x-1}<1\Leftrightarrow \frac{x^{2}-x+1}{x-1}<0$ . Sử dụng bảng xét dấu. Ta có : $A<1 \Leftrightarrow x < 1$

 

Bài 1/c:

có gì khó đâu delta là ok rồi ?

$\frac{x^{2}}{x-1}=k\Rightarrow x^{2}-kx+k\geq 0\Rightarrow \Delta =k^{2}-4k\geq 0\Rightarrow k(k-4)\geq 0\Rightarrow k\geq 4(k\geq 0)\Rightarrow \frac{x^{2}}{x-1}=\frac{4x-4+x^{2}-4x+4}{x-1}=4+\frac{(x-2)^{2}}{x-1}\geq 4because x-1\geq 0.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-03-2016 - 17:57

[tpdtthltvp]

 

ĐỀ THI SỐ 3

 

Bài 6: Cho $\Delta{ABC}$ đều, $M$ là trung điểm của $BC$. Một góc $\widehat{xMy}=60^o$ quay quanh điểm $M$ sao cho $2$ cạnh $Mx,My$ luôn cắt cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Chứng minh:

      a) $DM,EM$ lần lượt là tia phân giác của các góc $\widehat{BDE}$ và $\widehat{CED}.$

      b) Chu vi $\Delta ADE$ không đổi.

     

Bài 6/b:

Kẻ $MI,MH,MK$ lần lượt vuông góc với $DE,BD,EC$.

Xét $\Delta HDM$ và $\Delta IDM$ có:

$\left.\begin{matrix} \widehat{DHM}=\widehat{DIM}=90^o \\ DM \text{chung} \\ \widehat{HDM}=\widehat{IDM}(cmt) \end{matrix}\right\}\Rightarrow \Delta HDM=\Delta IDM(ch-gn)\Rightarrow DH=DI$

Cmtt, có $EK=EI$

$\Rightarrow P_{ADE}=AD+AD+AE=AD+AE+DI+IE=AD+AE+DH+EK=AH+AK(1)$

Mặt khác, $\Delta HBM$ có:

$\left.\begin{matrix} \widehat{BHM}=90^o \\ \widehat{BMH}=30^o \end{matrix}\right\}\Rightarrow BH=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{4}AB$ nên $AH=\frac{3}{4}AB(2)$

Cmtt, có $AK=\frac{3}{4}AC=\frac{3}{4}AB(3)$

Từ $(1),(2),(3)$ suy ra $AH+AK=\frac{3}{2}AB$

Vậy chu vi $\Delta ADE$ luôn bằng $\frac{3}{2}$ độ dài cạnh $\Delta ABC$ không đổi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-03-2016 - 18:25

[Trung Kenneth]

Mọi người làm tạm đề này đã!

ĐỀ THI SỐ 3

 

 

Bài 5: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

 

 

Gọi độ dài 3 cạnh tam giác là a,b,c (alà cạnh huyền) ($a,b,c\in Z^{+}$; $a\geq b\geq c\geq 1$)

Từ gt $\frac{bc}{2}=a+b+c\Rightarrow bc=2(a+b+c)$ (1)  và  $b^2+c^2=a^2$ (2)

Từ (2) ta có: $(b+c)^2-a^2=2bc\Rightarrow (a+b+c)(b+c-a)=2bc$

Mà $bc=2(a+b+c)$ $\Rightarrow b+c-a=4\Rightarrow a=b+c-4$

Thay vào (1) $\Rightarrow bc=4(b+c-2)\Rightarrow (b-4)(c-4)=8$

Giải phương trình nghiệm nguyên với chú ý $b,c\geq 1$ 

được $(a,b,c)\in \left \{ (10,8,6) ; (13,12,5) \right \}$

[I Love MC]

                                                                                ĐỀ THI SỐ 4 
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử : 
         a) $x^2+x-2y+yx-6$
         b) $x^{10}+x^5+1$ 
         c) Tính giá trị của $P=x^4-5x^3-4x^2+26x-39$ tại $x=5$
 

Câu 2: Giải các phương trình sau : 
         a) $4x^4+16x^3+8x^2+8x+1=0$ 
         b) $x^6-7x^2+\sqrt{6}=0$  
 

Câu 3: Giả sử $a,b,c,d$ là các số nguyên . Chứng minh $[(a-c)^2+(d-b)^2](a^2+b^2)-(ad-bc)^2$ là số chính phương. 
 

Câu 4: Xét xem dãy ${a_n}$ định bởi $a_n=2^{2^n}+5$ có bao nhiêu số nguyên tố với $n$ là một số nguyên dương 
 

Câu 5: Chứng minh rằng : 
$\frac{b+c+d}{(b-a)(c-a)(d-a)(x-a)}+\frac{c+d+a}{(c-b)(d-b)(a-b)(x-b)}+\frac{a+d+b}{(d-c)(a-c)(b-c)(x-c)}+\frac{a+b+c}{(a-d)(b-d)(c-d)(x-d)}=\frac{x-a-b-c-d}{(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)}$ 
 

Câu 6: Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N,P$ theo thứ tự là trung điểm $BC,CA,AB$. Các đường trung trực của tam giác giao tại $O$. Các đường cao $AD,BE,CF$ giao tại $H$. Gọi $I,K,R$ thứ tự là trung điểm $HA,HB,HC$ 
         a) Chứng minh $HO,IM$ cắt nhau tại $Q$ là trung điểm của mỗi đoạn 
         b) Chứng minh $QI=QM=QD=\frac{OA}{2}$ 
         c) Chứng minh $9$ điểm $I,D,M,K,E,N,R,F,P$ cùng thuộc một đường tròn 
 

Câu 7: Tìm tất cả các số nguyên dương  $a$ để $a^4+a^3+1$ là một số chính phương.

 

Hết 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 20-03-2016 - 20:47

[anhtukhon1]

 

                                                                                ĐỀ THI SỐ 4 

 

Câu 4: Xét xem dãy ${a_n}$ định bởi $a_n=2^{2^n}+5$ có bao nhiêu số nguyên tố với $n$ là một số nguyên dương 

 

Câu 4:

$2^{2^{n}}\equiv 2(mod 3)(n=0);2^{2^{n}}\equiv 1(mod 3)(n\neq 0)\Rightarrow 2^{2^{n}}+5\vdots 3\Rightarrow n=0\Rightarrow 7$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-03-2016 - 20:44

[tpdtthltvp]

                                                                                ĐỀ THI SỐ 4 
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử : 
         a) $x^2+x-2y+yx-6$
         b) $x^{10}+x^5+1$ 
         c) Tính giá trị của $P=x^4-5x^3-4x^2+26x-39$ 
 

Câu 1:

a) $x^2+x-2y+xy-6=x(x+y+3)-2(x+y+3)=(x-2)(x+y+3)$

b) $x^{10}+x^5+1=(x^{10}-x)+(x^5-x^2)+(x^2+x+1)=x(x-1)(x^2+x+1)(x^3+1)+x^2(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$

c) Hình như thiếu đề thì phải.

[adamfu]

                                                                                ĐỀ THI SỐ 4 
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử : 
         a) $x^2+x-2y+yx-6$

Câu 1/a:

$= x^{2}-2x-2y+yx+3x-6$

$= x(x-2)+y(x-2)+3(x-2)$

$= (x-2)(x+y+3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-03-2016 - 20:54

[tpdtthltvp]

                                                                                ĐỀ THI SỐ 4 

 

Câu 6: Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N,P$ theo thứ tự là trung điểm $BC,CA,AB$. Các đường trung trực của tam giác giao tại $O$. Các đường cao $AD,BE,CF$ giao tại $H$. Gọi $I,K,R$ thứ tự là trung điểm $HA,HB,HC$ 
         a) Chứng minh $HO,IM$ cắt nhau tại $Q$ là trung điểm của mỗi đoạn 
         b) Chứng minh $QI=QM=QD=\frac{OA}{2}$ 
         c) Chứng minh $9$ điểm $I,D,M,K,E,N,R,F,P$ cùng thuộc một đường tròn 
 

Câu 6:

a) Ta có: $\Delta IHK=\Delta MON(g-c-g)\Rightarrow IH=OM$ mà $IH//OM$

$\Rightarrow$ tứ giác $IHMO$ là $HBH$ 

$\Rightarrow IM,OH$ cắt nhau tại trung điểm $Q$ mỗi đoạn.

b) $\Delta DIM,\widehat{MDI}=90^o,QI=QM(gt)\Rightarrow QI=QM=QD(t/c)(1)$

mà $QI=\frac{IM}{2}=\frac{OA}{2}(2)$

từ $(1),(2)$ suy ra $QI=QM=QD=\frac{OA}{2}(dpcm)(*)$

 

c)  Cmtt (b), có:

$$QP=QR=QF=\frac{PR}{2}=\frac{OC}{2}(**)$$

$$QN=QK=QE=\frac{KN}{2}=\frac{OB}{2}(***)$$

Từ $(*),(**),(***)$ và do $OA=OB=OC$ suy ra $9$ điểm $I,D,M,K,E,N,R,F,P$ cùng thuộc một đường tròn tâm $Q$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-03-2016 - 21:20

[NTA1907]

Câu 2: Giải các phương trình sau : 

         a) $4x^4+16x^3+8x^2+8x+1=0$ 
         b) $x^6-7x^2+\sqrt{6}=0$  

a, Pt$\Leftrightarrow (2x^{2}+4x+1)^{2}-12x^{2}=0$

$\Leftrightarrow \left [ 2x^{2}+(4+2\sqrt{3})x+1 \right ]\left [ 2x^{2}+(4-2\sqrt{3})x+1 \right ]=0$

...

b, Đặt $x^{2}=t\geq 0$

$\Rightarrow t^{3}-7t+\sqrt{6}=0 \Leftrightarrow (t^{3}-6t)-(t-\sqrt{6})=0$

$\Leftrightarrow t(t-\sqrt{6})(t+\sqrt{6})-(t-\sqrt{6})=0 \Leftrightarrow (t-\sqrt{6})(t^{2}+t\sqrt{6}-1)=0$

...

[dunghoiten]

Đề số 5

 

Câu 1: Cho biểu thức $S=\dfrac{x^4+x^2-x^2-2x-2}{x^4+2x^3-x^2-4x-2}$ ; với $x \in \mathbb{Z}$

 

a, Rút gon $S$

 

b,Tìm $Min_{S}$

 

Câu 2 

 

a, Phân tích đa thức thành nhân tử $M=3xyz+x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)$

 

b, Giải phương trình $(x-2013)^4+(x-2015)^4=16$

 

Câu 3:

 

a, Tìm số tự nhiên $n$ sao cho số sau là số chính phương $n^2+2n+12$

 

b, CMR: $x^{50}+x^{10}+1$ chia hết cho $x^{30}-x^{20}+1$

 

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AC>AB$), đường cao $AH$ ($H \in BC$). Trên tia $HC$ lấy điểm $D$ sao cho $HD=HA$. Đường vuông góc với $BC$ tại $D$ cắt $AC$ tại $E$.

a, CMR: $\Delta BEC$ đồng dạng với $\Delta ADC$. Tính độ dài $BE$ theo $m=AB$

b, Gọi $M$ là trung điểm đoạn $BE$. CMR: hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo $\widehat{AHM}$

c, Tia $AM$ cắt $BC$ tại $G$. CM: $\dfrac{GB}{BC}=\dfrac{HD}{AH+HC}$

 

Câu 5:

 

a, Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:

 

$$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2} \geqslant \dfrac{3}{2}$$

 

b, Tìm GTNN và GTLN của biểu thức $B=x+y+z$. Biết rằng $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $y^2+yz+z^2=1007-\dfrac{3x^2}{2}$

 

P/s: Chúc topic phát triển  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dunghoiten: 21-03-2016 - 18:08

[tpdtthltvp]

 

Đề số 5

 

Câu 1: Cho biểu thức $S=\dfrac{x^4+x^2-x^2-2x-2}{x^4+2x^3-x^2-4x-2}$ ; với $x \in \mathbb{Z}$

 

a, Rút gon $S$

 

b,Tìm $Min_{S}$

 

Câu 2 

 

a, Phân tích đa thức thành nhân tử $M=3xyz+x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)$

 

b, Giải phương trình $(x-2013)^4+(x-2015)^4=16$

 

Câu 3:

 

a, Tìm số tự nhiên $n$ sao cho số sau là số chính phương $n^2+2n+12$

 

b, CMR: $x^{50}+x^{10}+1$ chia hết cho $x^{30}-x^{20}+1$

 

Câu 5:

 

a, Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:

 

$$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2} \geqslant \dfrac{3}{2}$$

 

Câu 1:

a, (ĐKXĐ: $x\neq -1,x\neq \sqrt{2},x\neq -\sqrt{2}$)

$S=\dfrac{x^4+x^2-x^2-2x-2}{x^4+2x^3-x^2-4x-2}=\frac{(x^2-2)(x^2+x+1)}{(x+1)^2(x^2-2)}=\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+1}$

b, $A=\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+1}=\frac{4(x^2+x+1)}{4(x^2+2x+1)}=\frac{3(x^2+2x+1)}{4(x^2+2x+1)}+\frac{x^2-2x+1}{4(x^2+2x+1)}=\frac{3}{4}+\frac{(x-1)^2}{4(x+1)^2}\geq \frac{3}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=1$

 

Câu 3/a+5/a:

 

Câu 5/a:

$\frac{a}{b^{2}+1}=\frac{ab^{2}+a-ab^{2}}{b^{2}+1}=a-\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}\geq a-\frac{ab^{2}}{2b}=a-\frac{ab}{2}\Rightarrow \sum \frac{a}{b^{2}+1}\geq 3-\frac{ab+bc+ca}{2}. 3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}=9\Rightarrow ab+bc+ca\leq 3\Rightarrow \sum \frac{a}{b^{2}+1}\geq \frac{3}{2}\Rightarrow \bigstar$

Câu 3/a: $n^{2}+2n+12=a^{2}\Rightarrow (n+1)^{2}-a^{2}=-11\Rightarrow (n+1+a)(n+1-a)=-11\Rightarrow ...$

$x^{10}=a\Rightarrow CM:a^{5}+a+1\vdots a^{3}-a^{2}+1$. Thực hiện phép chia = $a^{2}+a+1$

 

Câu 2/b:

Đặt $x-2014=a$ thì PT viết lại thành:

$(a+1)^4+(a-1)^4=16$

$\Leftrightarrow (a^4+4a^3+6a^2+4a+1)+(a^4-4a^3+6a^2-4a+1)=16$

$\Leftrightarrow 2a^4+12a^2+2=16$

$\Leftrightarrow a^4+6a^2-7=0$

$\Leftrightarrow (a^2-1)(a^2+7)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=1 \\ a=-1 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=2015 \\ x=2013 \end{bmatrix}$

 

Câu 2/a: $3xyz$ hay $2xyz$ vậy bạn?

 

Câu 3/b:

Đặt $x^{10}=a$ thì điều cần chứng minh $\Leftrightarrow a^5+a+1\vdots a^3-a^2+1(1)$

Để ý rằng $a^5+a+1=(a^2+a+1)(a^3-a^2+1)\vdots a^3-a^2+1$ nên $(1)$ luôn đúng.

Ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 21-03-2016 - 18:20