Chủ đề này có 3 trả lời

[Gachdptrai12]

lấy bài của anh quykhtn-qa1 hihi

cho a,b,c là các số thực không âm thỏa a+b+c=3 chứng mình

1)$\sqrt{2a^{3}+abc}+\sqrt{2b^{3}+abc}+\sqrt{2c^{3}+abc}\geq 3\sqrt{3}$

2)$\sqrt{4a^{4}+5abc} +\sqrt{4b^{^{4}}+5abc}+\sqrt{4c^{4}+5abc}\geq 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 21-03-2016 - 20:18

[Nguyenhuyen_AG]

lấy bài của anh quykhtn-qa1 hihi

cho a,b,c là các số thực không âm thỏa a+b+c=3 chứng mình

1)$\sqrt{2a^{3}+abc}+\sqrt{2b^{3}+abc}+\sqrt{2c^{3}+abc}\geq 3\sqrt{3}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có

\[\left [\sum \sqrt{a(2a^2+bc)} \right ]^2\left (\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}  \right ) \geqslant (a+b+c)^3=27.\]

Như vậy ta chỉ cần chứng minh

\[\sum \frac{a^2}{2a^2+bc} \leqslant 1.\]

Đây là bất đẳng thức quen thuộc.

[Gachdptrai12]

câu 2 í anh huyện câu 1 em ok rồi

[Gachdptrai12]

 

 

 

$\[\sqrt{4a^4+5abc}+\sqrt{4b^4+5abc}+\sqrt{4c^4+5abc}\geq 9\]$

tương đương

$\[{\frac{5abc}{2a^2+\sqrt{4a^4+5abc}}+\frac{5abc}{2a^2+\sqrt{4a^4+5abc}}+\frac{5abc}{2a^2+\sqrt{4a^4+5abc}}\ge 2(ab+bc+ca)-a^2-b^2-c^2}\]$

khi đó

$\[\frac{9abc}{a+b+c}=3abc\ge 2(ab+bc+ca)-a^2-b^2-c^2 \]$

ta chứng minh

$\[\sum \frac{5}{2a^2+\sqrt{4a^4+5abc}}\ge 3\]$

tuy nhiên

$\[{\sum \frac{5}{2a^2+\sqrt{4a^4+5abc}}=\sum \frac{5b^2c^2}{2a^2b^2c^2+b^2c^2\sqrt{4a^4+5abc}}\ge \frac{5(ab+bc+ca)^2}{6a^2b^2c^2+\sum b^2c^2\sqrt{4a^4+5abc}}}\]$

ta sẽ chứng minh

$\[5(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\ge 18+\sum 3\frac{\sqrt{4a^4+5abc}}{a^2}\]$

khi đó

$\[3\frac{\sqrt{4a^4+5abc}}{a^2}\le \frac{9+4a^4+5abc}{2a^2}\]$

ta chứng minh$\[\sum \frac{1}{2a^2}+10\sum \frac{1}{ab}\ge 2\sum a^2+3+\frac{5}{2}\sum \frac{1}{a}\sum ab\]$

là 1 bdt đúng $a+b+c=3$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 28-03-2016 - 10:38