Chủ đề này có 3 trả lời

[ZzNightWalkerZz]

Cho a,b,c là các số thực phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

$P=\sum a^2 + \sum \frac{1}{(a-b)^2}$

Spoiler

Bài này do một người đưa mình sai đề nhưng lại thành ra một bài toán hay hơn :v.

Đây là bài toán gốc
Tìm min $P = \sum a^2 . \sum \frac{1}{(a-b)^2}$

 

[superpower]

Cho a,b,c là các số thực phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

$P=\sum a^2 + \sum \frac{1}{(a-b)^2}$

Spoiler

Bài này do một người đưa mình sai đề nhưng lại thành ra một bài toán hay hơn :v.

Đây là bài toán gốc
Tìm min $P = \sum a^2 . \sum \frac{1}{(a-b)^2}$

Giải bài toán gốc trước

Đặt

$f(a,b,c)=\sum a^2 . \sum \frac{1}{(a-b)^2} $

Ta thấy $f(a,b,c) \geq f(a-c,b-c;0)$

Do đó, ta chỉ cần tìm min trong TH $c=0$

Thay vào, tìm được min P

Còn bài toán đầu thì chỉ cần AM-GM là ra lại bài toán gốc

[ZzNightWalkerZz]

Giải bài toán gốc trước

Đặt

$f(a,b,c)=\sum a^2 . \sum \frac{1}{(a-b)^2} $

Ta thấy $f(a,b,c) \geq f(a-c,b-c;0)$

Do đó, ta chỉ cần tìm min trong TH $c=0$

Thay vào, tìm được min P

Còn bài toán đầu thì chỉ cần AM-GM là ra lại bài toán gốc

quan trọng là dấu bằng nên không AM-GM để ra bài toán gốc được

Dù sao lời giải cho bài toán gốc của bạn là đúng rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 20-03-2016 - 10:14

[tranductucr1]

Cho a,b,c là các số thực phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

$P=\sum a^2 + \sum \frac{1}{(a-b)^2}$

Spoiler

Bài này do một người đưa mình sai đề nhưng lại thành ra một bài toán hay hơn :v.

Đây là bài toán gốc
Tìm min $P = \sum a^2 . \sum \frac{1}{(a-b)^2}$

Giả sữ $ a \geq b \geq c$ 
$f(a,b,c) \geq f(a-c,b-c,0) \Leftrightarrow  a^2+b^2+c^2 \geq  (a-c)^2+(b-c)^2 \Leftrightarrow c(2a+2b-c) \geq 0$ (Đúng ) 
Đặt x=a-c,y=b-c 
=> $f(a-c,b-c,0) =x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x-y)^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{8x^2}{9}+\frac{1}{y^2}+\frac{8y^2}{9} +\frac{(x^2+y^2)(1+1)}{18}+(x-y)^{-2} \geq \frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{(x-y)^2}{18}+\frac{1}{(x-y)^2} \geq 4\sqrt{\frac{8}{9}}+\frac{2}{\sqrt{18}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 20-03-2016 - 10:42