Chủ đề này có 3 trả lời

[githenhi512]

1. Cho a,b,x>0. CM: $\sum \frac{a^{2}}{b} \geq \sum \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}$.

2. Cho a,b,c $\in \left [ -2;2 \right ]$  thỏa mãn: $a+b+c=3$. CM: $\sum \sqrt{4-a^{2}} \leq 3\sqrt{3}$.

3. Cho a,b $>0. CM: (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}}) \leq 2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-03-2016 - 18:38

[dogsteven]

$VT=\dfrac{1}{2}\sum \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{1}{2}\sum \dfrac{a^2-ab+b^2}{b}\geqslant \dfrac{1}{2}\sum \left(b+\dfrac{a^2-ab+b^2}{b}\right)\geqslant VP$

[royal1534]

 

3. Cho a,b $>0. CM: (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}}) \leq 2$.

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

$\sqrt{\frac{a}{a+3b}}=\sqrt{\frac{a(a+b)}{(a+3b)(a+b)}} \leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a+3b})$

$\sqrt{\frac{b}{a+3b}}\leq \frac{1}{2}(\frac{2b}{a+3b}+\frac{1}{2})$

$\rightarrow \frac{1}{\sqrt{a+3b}}.(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \leq \frac{1}{2}.(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b+2b}{a+3b}+\frac{1}{2})=\frac{3}{4}+\frac{a}{2(a+b)}$

Tương tự $\frac{1}{\sqrt{b+3a}}.(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \leq \frac{3}{4}+\frac{b}{2(a+b)}$

$\rightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}}) \leq \frac{6}{4}+\frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}) = \frac{6}{4}+\frac{1}{2}=2$

Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xảy ra khi $a=b$

[Quoc Tuan Qbdh]

 

2. Cho a,b,c $\in \left [ -2;2 \right ]$  thỏa mãn: $a+b+c=3$. CM: $\sum \sqrt{4-a^{2}} \leq 3\sqrt{3}$.

 

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$\sqrt{4-a^{2}}+\sqrt{4-b^{2}}+\sqrt{4-c^{2}}=\sqrt{2-a}.\sqrt{2+a}+\sqrt{2-b}.\sqrt{2+b}+\sqrt{2-c}.\sqrt{2+c} \leq \sqrt{(2-a+2-b+2-c)(2+a+2+b+2+c)}=3\sqrt{3}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$