Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR $\sum \frac{a^{2}}{a+bc}\geq \frac{a+b+c}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 Duy Thuong

Duy Thuong

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Lê Văn Thịnh - Bắc Ninh
  • Sở thích:Kamen Rider - Super Sentai
    Yugioh
    Manga ....

Đã gửi 20-03-2016 - 20:05

Câu 1: Cho a, b, c >0 và ab+bc+ca = abc

CMR: $\sum \frac{a^{2}}{a+bc}\geq \frac{a+b+c}{4}$

Câu 2: Cho a, b, c>0 và a+b+c=3.

Tìm Max: S=$\sum \sqrt[3]{a(b+2c)}$

Câu 3: Cho a, b, c >0 và ab +bc +ca = 3.

CMR: $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+3}\geq \frac{3}{4}$

Câu 4: Cho a, b, c > 0 và ab+bc+ca=abc

CMR: $\sum \frac{1}{a+2b+3c}\leq \frac{3}{18}$

Câu 5: Cho a, b, c > 0 và a+ b+c= $\frac{1}{2}$

Tìm Max: P= $\sum \sqrt{\frac{(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)+a+c}}$

Câu 6: Cho x, y, z > 0 và x.y.z=1.Tìm Max:

A= $\sum \frac{x}{x^{4}+2x^{2}+2y^{2}+7}$

Câu 7: Cho x, y, z > 0 và x.y.z=1.Tìm Max:

B= $\sum \frac{x^{4}y^{4}}{x^{5}+y^{5}+x^{4}y^{4}}$

Câu 8: Cho x, y, z > 0 và x.y.z = 1. Tìm Min:

F= $\sum \frac{x^{9}+y^{9}}{x^{6}+x^{3}y^{3}+y^{6}}$

Câu 9: Cho x, y > 1. Tìm Min:

E= $\frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}$

Câu 10: (đề thi học sinh giỏi Toán 9 tỉnh Thanh Hóa năm 2015 - 2016) 

Cho 0 < a, b, c $\epsilon$ $\Re$ và $ab^{2} + bc^{2} + ca^{2}=3$.

CMR: $\sum \frac{2a^{5}+3b^{5}}{ab}\geq 15(\sum a^{3})-30$

p/s Mọi người giúp em gấp nhé. Thứ 5 tuần sau em thi rồi!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duy Thuong: 20-03-2016 - 20:07

If I believe myself, I can do everything


#2 kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 525 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 20-03-2016 - 20:37

 

Câu 2: Cho a, b, c>0 và a+b+c=3.

Tìm Max: S=$\sum \sqrt[3]{a(b+2c)}$

 

Ta có : $\sum \sqrt[3]{a(b+2c)}=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\sqrt[3]{3a(b+2c).3}\leq \sum \frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{3a+b+2c+3}{3}=3\sqrt[3]{3}$

Dấu $"="$ khi $a=b=c=1$



#3 gemyncanary

gemyncanary

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 20-03-2016 - 20:48

Câu 9: Cho x, y > 1. Tìm Min:

 

E= $\frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}$

  $=\frac{x^{2}(x-1)+y^{2}(y-1)}{(x-1)(y-1)}= \frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1} \geq \frac{x^{2}}{(\frac{1+y-1}{2})^{2}}+\frac{y^{2}}{(\frac{1+x-1}{2})^{2}}=\frac{4x^{2}}{y^{2}}+\frac{4y^{2}}{x^{2}} \geq 4.2\sqrt{\frac{x^{2}y^{2}}{y^{2}x^{2}}} \geq 8$

 



#4 kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 525 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 20-03-2016 - 20:48

 

Câu 9: Cho x, y > 1. Tìm Min:

E= $\frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}$

Câu 10: (đề thi học sinh giỏi Toán 9 tỉnh Thanh Hóa năm 2015 - 2016) 

 

$E=\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x+1}\geq \frac{(x+y)^{2}}{x+y-2}=x+y-2+\frac{4}{x+y-2}+4\geq 8$

Dấu "=" khi $x=6-y$

Ai xem hộ mình bài này với, thấy giải cứ sai sai  :(  :(  :(



#5 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 20-03-2016 - 20:54

Câu 1: Cho a, b, c >0 và ab+bc+ca = abc

CMR: $\sum \frac{a^{2}}{a+bc}\geq \frac{a+b+c}{4}$

 

Sử dụng bđt Holder ta có:

$VT=\sum \frac{a^3}{a^2+abc} \geq \frac{(a+b+c)^3}{3(a^2+b^2+c^2+3abc)}=\frac{(a+b+c)(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2+3abc)}$

Ta quy bài toán về chứng minh:

$4(a+b+c)^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2+3abc)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 9abc-8(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$ (vì $ab+bc+ca=abc$)

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] \geq 0$

Ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 20-03-2016 - 20:57


#6 Duy Thuong

Duy Thuong

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Lê Văn Thịnh - Bắc Ninh
  • Sở thích:Kamen Rider - Super Sentai
    Yugioh
    Manga ....

Đã gửi 20-03-2016 - 20:56

$E=\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x+1}\geq \frac{(x+y)^{2}}{x+y-2}=x+y-2+\frac{4}{x+y-2}+4\geq 8$

Dấu "=" khi $x=6-y$

Ai xem hộ mình bài này với, thấy giải cứ sai sai  :(

Do x, y >1 => x+y >2 =>x+y-2>0=>x+y-2$\geq$1 =>  $\frac{4}{x+y-2}\leq 4$. Hình như là thế :D


If I believe myself, I can do everything


#7 Duy Thuong

Duy Thuong

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Lê Văn Thịnh - Bắc Ninh
  • Sở thích:Kamen Rider - Super Sentai
    Yugioh
    Manga ....

Đã gửi 20-03-2016 - 20:58

Sử dụng bđt Holder ta có:

$VT=\sum \frac{a^3}{a^2+abc} \geq \frac{(a+b+c)^3}{3(a^2+b^2+c^2+3abc)}=\frac{(a+b+c)(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2+3abc)}$

Ta quy bài toán về chứng minh:

$4(a+b+c)^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2+3abc)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 9abc-8(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$ (vì $ab+bc+ca=abc$)

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] \geq 0$

Ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Anh có cách giải khác không? em mới lớp 9, chưa học BĐT holder :(


If I believe myself, I can do everything


#8 kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 525 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 20-03-2016 - 21:00

Do x, y >1 => x+y >2 =>x+y-2>0=>x+y-2$\geq$1 =>  $\frac{4}{x+y-2}\leq 4$. Hình như là thế :D

Chỗ này là dùng Cauchy cho $x+y-2$ với $\frac{4}{x+y-2}$ mà



#9 OiDzOiOi

OiDzOiOi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Gì cũng thích

Đã gửi 20-03-2016 - 21:41

Anh có cách giải khác không? em mới lớp 9, chưa học BĐT holder :(

$\sum \frac{a^{2}}{a+bc}=\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+ac+bc}=\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}=\frac{\sum ac(a^{2}+c^{2})}{(a+b)(a+c)(b+c)}\geq \frac{\sum 2a^{2}c^{2}}{8abc}=\frac{1}{4}(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a})$

 

$\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq 2a$....$\Rightarrow \frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geq a+b+c$   :( ( hoi dai` thi` phai )


What is .......>_<.....


#10 OiDzOiOi

OiDzOiOi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Gì cũng thích

Đã gửi 20-03-2016 - 22:19

 

Câu 4: Cho a, b, c > 0 và ab+bc+ca=abc

CMR: $\sum \frac{1}{a+2b+3c}\leq \frac{3}{18}$

 

$ab+ac+bc=abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

 

$\sum \frac{1}{a+2b+3c}=\sum \frac{1}{9}\frac{9}{(a+c)+(b+c)+(b+c)}\leq \sum \frac{1}{9}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c})=\sum \frac{1}{9}.3.\frac{1}{a+b}=\sum \frac{1}{9}.3.\frac{1}{4}.\frac{4}{a+b}\leq \sum \frac{1}{12}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )=\frac{1}{12}.2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\frac{1}{6}$


What is .......>_<.....


#11 OiDzOiOi

OiDzOiOi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Gì cũng thích

Đã gửi 20-03-2016 - 22:58

 

Câu 5: Cho a, b, c > 0 và a+ b+c= $\frac{1}{2}$

Tìm Max: P= $\sum \sqrt{\frac{(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)+a+c}}$

 

x=a+b;y=b+c;z=c+a

 

$p=\sum \sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\sum \sqrt{\frac{xy}{(x+z)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\sum \left ( \frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z} \right )\leq \frac{3}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi OiDzOiOi: 20-03-2016 - 23:03

What is .......>_<.....





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh