Chủ đề này có 10 trả lời

[Duy Thuong]

Câu 1: Cho a, b, c >0 và ab+bc+ca = abc

CMR: $\sum \frac{a^{2}}{a+bc}\geq \frac{a+b+c}{4}$

Câu 2: Cho a, b, c>0 và a+b+c=3.

Tìm Max: S=$\sum \sqrt[3]{a(b+2c)}$

Câu 3: Cho a, b, c >0 và ab +bc +ca = 3.

CMR: $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+3}\geq \frac{3}{4}$

Câu 4: Cho a, b, c > 0 và ab+bc+ca=abc

CMR: $\sum \frac{1}{a+2b+3c}\leq \frac{3}{18}$

Câu 5: Cho a, b, c > 0 và a+ b+c= $\frac{1}{2}$

Tìm Max: P= $\sum \sqrt{\frac{(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)+a+c}}$

Câu 6: Cho x, y, z > 0 và x.y.z=1.Tìm Max:

A= $\sum \frac{x}{x^{4}+2x^{2}+2y^{2}+7}$

Câu 7: Cho x, y, z > 0 và x.y.z=1.Tìm Max:

B= $\sum \frac{x^{4}y^{4}}{x^{5}+y^{5}+x^{4}y^{4}}$

Câu 8: Cho x, y, z > 0 và x.y.z = 1. Tìm Min:

F= $\sum \frac{x^{9}+y^{9}}{x^{6}+x^{3}y^{3}+y^{6}}$

Câu 9: Cho x, y > 1. Tìm Min:

E= $\frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}$

Câu 10: (đề thi học sinh giỏi Toán 9 tỉnh Thanh Hóa năm 2015 - 2016) 

Cho 0 < a, b, c $\epsilon$ $\Re$ và $ab^{2} + bc^{2} + ca^{2}=3$.

CMR: $\sum \frac{2a^{5}+3b^{5}}{ab}\geq 15(\sum a^{3})-30$

p/s Mọi người giúp em gấp nhé. Thứ 5 tuần sau em thi rồi!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duy Thuong: 20-03-2016 - 20:07

[kimchitwinkle]

 

Câu 2: Cho a, b, c>0 và a+b+c=3.

Tìm Max: S=$\sum \sqrt[3]{a(b+2c)}$

 

Ta có : $\sum \sqrt[3]{a(b+2c)}=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\sqrt[3]{3a(b+2c).3}\leq \sum \frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{3a+b+2c+3}{3}=3\sqrt[3]{3}$

Dấu $"="$ khi $a=b=c=1$

[gemyncanary]

Câu 9: Cho x, y > 1. Tìm Min:

 

E= $\frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}$

  $=\frac{x^{2}(x-1)+y^{2}(y-1)}{(x-1)(y-1)}= \frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1} \geq \frac{x^{2}}{(\frac{1+y-1}{2})^{2}}+\frac{y^{2}}{(\frac{1+x-1}{2})^{2}}=\frac{4x^{2}}{y^{2}}+\frac{4y^{2}}{x^{2}} \geq 4.2\sqrt{\frac{x^{2}y^{2}}{y^{2}x^{2}}} \geq 8$

 

[kimchitwinkle]

 

Câu 9: Cho x, y > 1. Tìm Min:

E= $\frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}$

Câu 10: (đề thi học sinh giỏi Toán 9 tỉnh Thanh Hóa năm 2015 - 2016) 

 

$E=\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x+1}\geq \frac{(x+y)^{2}}{x+y-2}=x+y-2+\frac{4}{x+y-2}+4\geq 8$

Dấu "=" khi $x=6-y$

Ai xem hộ mình bài này với, thấy giải cứ sai sai     

[royal1534]

Câu 1: Cho a, b, c >0 và ab+bc+ca = abc

CMR: $\sum \frac{a^{2}}{a+bc}\geq \frac{a+b+c}{4}$

 

Sử dụng bđt Holder ta có:

$VT=\sum \frac{a^3}{a^2+abc} \geq \frac{(a+b+c)^3}{3(a^2+b^2+c^2+3abc)}=\frac{(a+b+c)(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2+3abc)}$

Ta quy bài toán về chứng minh:

$4(a+b+c)^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2+3abc)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 9abc-8(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$ (vì $ab+bc+ca=abc$)

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] \geq 0$

Ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 20-03-2016 - 20:57

[Duy Thuong]

$E=\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x+1}\geq \frac{(x+y)^{2}}{x+y-2}=x+y-2+\frac{4}{x+y-2}+4\geq 8$

Dấu "=" khi $x=6-y$

Ai xem hộ mình bài này với, thấy giải cứ sai sai 

Do x, y >1 => x+y >2 =>x+y-2>0=>x+y-2$\geq$1 =>  $\frac{4}{x+y-2}\leq 4$. Hình như là thế

[Duy Thuong]

Sử dụng bđt Holder ta có:

$VT=\sum \frac{a^3}{a^2+abc} \geq \frac{(a+b+c)^3}{3(a^2+b^2+c^2+3abc)}=\frac{(a+b+c)(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2+3abc)}$

Ta quy bài toán về chứng minh:

$4(a+b+c)^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2+3abc)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 9abc-8(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$ (vì $ab+bc+ca=abc$)

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] \geq 0$

Ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Anh có cách giải khác không? em mới lớp 9, chưa học BĐT holder

[kimchitwinkle]

Do x, y >1 => x+y >2 =>x+y-2>0=>x+y-2$\geq$1 =>  $\frac{4}{x+y-2}\leq 4$. Hình như là thế

Chỗ này là dùng Cauchy cho $x+y-2$ với $\frac{4}{x+y-2}$ mà

[OiDzOiOi]

Anh có cách giải khác không? em mới lớp 9, chưa học BĐT holder

$\sum \frac{a^{2}}{a+bc}=\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+ac+bc}=\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}=\frac{\sum ac(a^{2}+c^{2})}{(a+b)(a+c)(b+c)}\geq \frac{\sum 2a^{2}c^{2}}{8abc}=\frac{1}{4}(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a})$

 

$\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq 2a$....$\Rightarrow \frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geq a+b+c$   ( hoi dai` thi` phai )

[OiDzOiOi]

 

Câu 4: Cho a, b, c > 0 và ab+bc+ca=abc

CMR: $\sum \frac{1}{a+2b+3c}\leq \frac{3}{18}$

 

$ab+ac+bc=abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

 

$\sum \frac{1}{a+2b+3c}=\sum \frac{1}{9}\frac{9}{(a+c)+(b+c)+(b+c)}\leq \sum \frac{1}{9}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c})=\sum \frac{1}{9}.3.\frac{1}{a+b}=\sum \frac{1}{9}.3.\frac{1}{4}.\frac{4}{a+b}\leq \sum \frac{1}{12}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )=\frac{1}{12}.2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\frac{1}{6}$

[OiDzOiOi]

 

Câu 5: Cho a, b, c > 0 và a+ b+c= $\frac{1}{2}$

Tìm Max: P= $\sum \sqrt{\frac{(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)+a+c}}$

 

x=a+b;y=b+c;z=c+a

 

$p=\sum \sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\sum \sqrt{\frac{xy}{(x+z)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\sum \left ( \frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z} \right )\leq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi OiDzOiOi: 20-03-2016 - 23:03