Chủ đề này có 2 trả lời

[baotranthaithuy]

Cho $m;n$ là hai số nguyên dương khác nhau. Tính

 

$\lim_{x \to 1}\left ( \dfrac{m}{1-x^m}-\dfrac{n}{1-x^n} \right )$

 

 

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $m;n$ là hai số nguyên dương khác nhau. Tính

 

$\lim_{x \to 1}\left ( \dfrac{m}{1-x^m}-\dfrac{n}{1-x^n} \right )$

Ta có:
$\lim_{x \to 1} (\frac{m}{1-x^{m}}-\frac{n}{1-x^{n}}) = \lim_{x \to 1} (\frac{m}{1-x^{m}}-\frac{1}{1-x}-\frac{n}{1-x^{n}}+\frac{1}{1-x})$
$= \lim_{x \to 1} (\frac{1-x^{m-1}+1-x^{m-2}+...+1-x+1-1}{1-x^{m}}-\frac{1-x^{n-1}+1-x^{n-2}+...+1-x+1-1}{1-x^{n}})$

$= \lim_{x \to 1} (\frac{1+x+...+x^{m-2}+1+x+..+x^{m-3}+...+1}{1+x+...+x^{m-1}}-\frac{1+x+...+x^{n-2}+1+x+..+x^{n-3}+...+1}{1+x+...+x^{n-1}})$

$=\frac{m-1+m-2+...+1}{m}-\frac{n-1+n-2+...+1}{n}=\frac{m(m-1)}{2m}-\frac{n(n-1)}{2n}=\frac{m-n}{2}$

[stuart clark]

Let $\displaystyle l=\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right)\;, m,n>0$

 

Now put $\displaystyle x= \frac{1}{t}\;,$ Then $\displaystyle l=\lim_{t\rightarrow 1}\left(-\frac{mt^m}{1-t^m}+\frac{nt^n}{1-t^n}\right) = \lim_{t\rightarrow 1}\left[\frac{m(1-t^m-1)}{1-t^m}-\frac{n(1-t^n-1)}{1-t^n}\right]$

 

So $l=(m-n)-l\Rightarrow l = \frac{m-n}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi stuart clark: 21-07-2016 - 13:54