Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$a^{2}+b^{2}=\begin{bmatrix} a,b \end{bmatrix}+7(a,b)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 OiDzOiOi

OiDzOiOi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Gì cũng thích

Đã gửi 20-03-2016 - 21:13

$a,b\in N^{*}$        Fnd ::        $a^{2}+b^{2}=\begin{bmatrix} a,b \end{bmatrix}+7(a,b)$

(  $[a,b]=BCNN(a,b)$ ;    $(a,b)=UCLN(a,b))$ )


What is .......>_<.....


#2 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 20-03-2016 - 21:29

$a,b\in N^{*}$        Fnd ::        $a^{2}+b^{2}=\begin{bmatrix} a,b \end{bmatrix}+7(a,b)$

Đặt $d=(a,b)$ suy ra $a=dm,b=dn$ trong đó $(m,n)=1$ 
Chú ý rằng $[a,b]=\frac{ab}{(a,b)}=\frac{d^2mn}{d}=dmn$ 
Bài toán đưa về phương trình $7d+dmn=(dm)^2+(dn)^2$  
Hay $7+mn=d(m^2+n^2)$ 
Suy ra $\frac{7+mn}{m^2+n^2}=d \ge 1$ 
Suy ra $3 \ge m>0$ 
Xét $m=2$ suy ra $n=1$ (không thỏa) 
 $m=1$ suy ra $n=1$ thỏa  khi đó $d=4$
$m=3$ suy ra $n=1$ suy ra $d=1$
Suy ra $a=b=4$ 
hoặc $(a,b)=(3,1),(1,3)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 20-03-2016 - 21:34


#3 Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-03-2016 - 21:31

Ý bạn là tìm tất cả các số nguyên dương $a, b$ sao cho $a^{2} + b^{2} = 7\text{gcd}(a, b) + \text{lcm}(a, b)$?
WLOG, giả sử $a \ge b$
Đặt $g = \text{gcd}(a, b)$ và $a = gm, b = gn$ với $\text{gcd}(m, n) = 1$. Khi đó $\text{lcm}(a, b) = gmn$ và $m \ge n$
Viết lại, ta có $g^{2}m^{2} + g^{2}n^{2} = 7g + gmn \implies g(m^{2} + n^{2}) = 7 + mn$
Nếu $m = n = 1$, suy ra $a = b = 4$
Nếu $m = 2, n = 1$, vô nghiệm.
Ngoài các TH đó, thì $m^{2} + n^{2} > 7$.
Do đó nếu $g\ge 2$ thì $7 = (m^{2} + n^{2} - mn) + (g - 1)(m^{2} + n^{2} > 7$. Vô lí.
Từ đó ta có $g = 1$. Giải PT $m^{2} + n^{2} - mn = 7$, ta sẽ có nghiệm $m = 3, n = 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 20-03-2016 - 21:36


#4 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 20-03-2016 - 21:35

Ý bạn là tìm tất cả các số nguyên dương $a, b$ sao cho $a^{2} + b^{2} = 7\text{gcd}(a, b) + \text{lcm}(a, b)$?
WLOG, giả sử $a \ge b$
Đặt $g = \text{gcd}(a, b)$ và $a = gm, b = gn$ với $\text{gcd}(m, n) = 1$. Khi đó $\text{lcm}(a, b) = gmn$ và $m \ge n$
Viết lại, ta có $g^{2}m^{2} + g^{2}n^{2} = 7g + gmn \implies g(m^{2} + n^{2}) = 7 + mn$
Nếu $m = n = 1$, vô nghiệm.
Nếu $m = 2, n = 1$, vô nghiệm.
Ngoài các TH đó, thì $m^{2} + n^{2} > 7$.
Do đó nếu $g\ge 2$ thì $7 = (m^{2} + n^{2} - mn) + (g - 1)(m^{2} + n^{2} > 7$. Vô lí.
Từ đó ta có $g = 1$. Giải PT $m^{2} + n^{2} - mn = 7$, ta sẽ có nghiệm $m = 3, n = 1$

Thiếu nghiệm $m=n=1$ rồi anh :)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh