Chủ đề này có 3 trả lời

[OiDzOiOi]

$a,b\in N^{*}$        Fnd ::        $a^{2}+b^{2}=\begin{bmatrix} a,b \end{bmatrix}+7(a,b)$

(  $[a,b]=BCNN(a,b)$ ;    $(a,b)=UCLN(a,b))$ )

[I Love MC]

$a,b\in N^{*}$        Fnd ::        $a^{2}+b^{2}=\begin{bmatrix} a,b \end{bmatrix}+7(a,b)$

Đặt $d=(a,b)$ suy ra $a=dm,b=dn$ trong đó $(m,n)=1$ 
Chú ý rằng $[a,b]=\frac{ab}{(a,b)}=\frac{d^2mn}{d}=dmn$ 
Bài toán đưa về phương trình $7d+dmn=(dm)^2+(dn)^2$  
Hay $7+mn=d(m^2+n^2)$ 
Suy ra $\frac{7+mn}{m^2+n^2}=d \ge 1$ 
Suy ra $3 \ge m>0$ 
Xét $m=2$ suy ra $n=1$ (không thỏa) 
 $m=1$ suy ra $n=1$ thỏa  khi đó $d=4$
$m=3$ suy ra $n=1$ suy ra $d=1$
Suy ra $a=b=4$ 
hoặc $(a,b)=(3,1),(1,3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 20-03-2016 - 21:34

[Ego]

Ý bạn là tìm tất cả các số nguyên dương $a, b$ sao cho $a^{2} + b^{2} = 7\text{gcd}(a, b) + \text{lcm}(a, b)$?
WLOG, giả sử $a \ge b$
Đặt $g = \text{gcd}(a, b)$ và $a = gm, b = gn$ với $\text{gcd}(m, n) = 1$. Khi đó $\text{lcm}(a, b) = gmn$ và $m \ge n$
Viết lại, ta có $g^{2}m^{2} + g^{2}n^{2} = 7g + gmn \implies g(m^{2} + n^{2}) = 7 + mn$
Nếu $m = n = 1$, suy ra $a = b = 4$
Nếu $m = 2, n = 1$, vô nghiệm.
Ngoài các TH đó, thì $m^{2} + n^{2} > 7$.
Do đó nếu $g\ge 2$ thì $7 = (m^{2} + n^{2} - mn) + (g - 1)(m^{2} + n^{2} > 7$. Vô lí.
Từ đó ta có $g = 1$. Giải PT $m^{2} + n^{2} - mn = 7$, ta sẽ có nghiệm $m = 3, n = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 20-03-2016 - 21:36

[I Love MC]

Ý bạn là tìm tất cả các số nguyên dương $a, b$ sao cho $a^{2} + b^{2} = 7\text{gcd}(a, b) + \text{lcm}(a, b)$?
WLOG, giả sử $a \ge b$
Đặt $g = \text{gcd}(a, b)$ và $a = gm, b = gn$ với $\text{gcd}(m, n) = 1$. Khi đó $\text{lcm}(a, b) = gmn$ và $m \ge n$
Viết lại, ta có $g^{2}m^{2} + g^{2}n^{2} = 7g + gmn \implies g(m^{2} + n^{2}) = 7 + mn$
Nếu $m = n = 1$, vô nghiệm.
Nếu $m = 2, n = 1$, vô nghiệm.
Ngoài các TH đó, thì $m^{2} + n^{2} > 7$.
Do đó nếu $g\ge 2$ thì $7 = (m^{2} + n^{2} - mn) + (g - 1)(m^{2} + n^{2} > 7$. Vô lí.
Từ đó ta có $g = 1$. Giải PT $m^{2} + n^{2} - mn = 7$, ta sẽ có nghiệm $m = 3, n = 1$

Thiếu nghiệm $m=n=1$ rồi anh