Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \dbinom{n}{k}$ với mọi $k = 1, 2, \cdots, n - 1$

số học nhị thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-03-2016 - 21:21

Cho $p$ là một số nguyên tố. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \dbinom{n}{k}$ với mọi $k = 1, 2, \cdots, n - 1$.

Spoiler



#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1884 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 16-05-2019 - 17:45

Cho $p$ là một số nguyên tố. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \dbinom{n}{k}$ với mọi $k = 1, 2, \cdots, n - 1$.

Spoiler

Xét 2 trường hợp :

1) $n$ có dạng $p^m$ ($m$ nguyên dương) :

   Khi đó, với mọi $k$ nguyên dương và $k\leqslant n-1=p^m-1$, ta có :

   $\dbinom{n}{k}=\dbinom{p^m}{k}=\frac{T}{M}$ với $\left\{\begin{matrix}T=\left ( p^m \right )\left ( p^m-1 \right )\left ( p^m-2 \right )...(p^m-k+1)\\M=k!=1.2.3...k \end{matrix}\right.$

   Gọi $N_1,N_2$ lần lượt là số mũ của $p$ khi phân tích $T$ và $M$ ra thừa số nguyên tố, ta có :

   $N_1=\left \lceil \frac{k}{p} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^2} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^3} \right \rceil+...+\left \lceil \frac{k}{p^{m-1}} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^m} \right \rceil=\left \lceil \frac{k}{p} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^2} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^3} \right \rceil+...+\left \lceil \frac{k}{p^{m-1}} \right \rceil+1$

   $N_2=\left \lfloor \frac{k}{p} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{p^2} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{p^3} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{k}{p^{m-1}} \right \rfloor$

   $\Rightarrow N_1\geqslant N_2+1\Rightarrow \dbinom{p^m}{k}\ \vdots\ p$

 

2) $n$ không có dạng $p^m$ :

  a) $n$ không chia hết cho $p$ :

      Khi đó dễ dàng thấy $\dbinom{n}{1}=n$ không chia hết cho $p$.

  b) $n$ có dạng $q.p^m$ ($m,q$ nguyên dương ; $q\neq 1$ và $q$ không chia hết cho $p$)

      Khi đó ta có :

      $\dbinom{qp^m}{(q-1)p^m}=\frac{\tau }{\mu }$ với $\left\{\begin{matrix}\tau =(qp^m)(qp^m-1)(qp^m-2)...(p^m+1)\\\mu =\left [ (q-1)p^m \right ]! \end{matrix}\right.$

      Gọi $N_3,N_4$ lần lượt là số mũ của $p$ khi phân tích $\tau$ và $\mu$ ra thừa số nguyên tố, ta có :

   $N_3=\left \lceil \frac{(q-1)p^m}{p} \right \rceil+\left \lceil \frac{(q-1)p^m}{p^2} \right \rceil+\left \lceil \frac{(q-1)p^m}{p^3} \right \rceil+...+\left \lceil \frac{(q-1)p^m}{p^m} \right \rceil$

   $N_4=\left \lfloor \frac{(q-1)p^m}{p} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{(q-1)p^m}{p^2} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{(q-1)p^m}{p^3} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{(q-1)p^m}{p^m} \right \rfloor$

   $\Rightarrow N_3=N_4\Rightarrow \dbinom{qp^m}{(q-1)p^m}$ không chia hết cho $p$

 

Vậy các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện đề bài có dạng $p^m$ (với $m$ nguyên dương).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 16-05-2019 - 17:56

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, nhị thức

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh