Cho $p$ là một số nguyên tố. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \dbinom{n}{k}$ với mọi $k = 1, 2, \cdots, n - 1$.
#1
Đã gửi 20-03-2016 - 21:21
- Zaraki, tritanngo99 và Minhnguyenthe333 thích
#2
Đã gửi 16-05-2019 - 17:45
Cho $p$ là một số nguyên tố. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \dbinom{n}{k}$ với mọi $k = 1, 2, \cdots, n - 1$.
Spoiler
Xét 2 trường hợp :
1) $n$ có dạng $p^m$ ($m$ nguyên dương) :
Khi đó, với mọi $k$ nguyên dương và $k\leqslant n-1=p^m-1$, ta có :
$\dbinom{n}{k}=\dbinom{p^m}{k}=\frac{T}{M}$ với $\left\{\begin{matrix}T=\left ( p^m \right )\left ( p^m-1 \right )\left ( p^m-2 \right )...(p^m-k+1)\\M=k!=1.2.3...k \end{matrix}\right.$
Gọi $N_1,N_2$ lần lượt là số mũ của $p$ khi phân tích $T$ và $M$ ra thừa số nguyên tố, ta có :
$N_1=\left \lceil \frac{k}{p} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^2} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^3} \right \rceil+...+\left \lceil \frac{k}{p^{m-1}} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^m} \right \rceil=\left \lceil \frac{k}{p} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^2} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^3} \right \rceil+...+\left \lceil \frac{k}{p^{m-1}} \right \rceil+1$
$N_2=\left \lfloor \frac{k}{p} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{p^2} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{p^3} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{k}{p^{m-1}} \right \rfloor$
$\Rightarrow N_1\geqslant N_2+1\Rightarrow \dbinom{p^m}{k}\ \vdots\ p$
2) $n$ không có dạng $p^m$ :
a) $n$ không chia hết cho $p$ :
Khi đó dễ dàng thấy $\dbinom{n}{1}=n$ không chia hết cho $p$.
b) $n$ có dạng $q.p^m$ ($m,q$ nguyên dương ; $q\neq 1$ và $q$ không chia hết cho $p$)
Khi đó ta có :
$\dbinom{qp^m}{(q-1)p^m}=\frac{\tau }{\mu }$ với $\left\{\begin{matrix}\tau =(qp^m)(qp^m-1)(qp^m-2)...(p^m+1)\\\mu =\left [ (q-1)p^m \right ]! \end{matrix}\right.$
Gọi $N_3,N_4$ lần lượt là số mũ của $p$ khi phân tích $\tau$ và $\mu$ ra thừa số nguyên tố, ta có :
$N_3=\left \lceil \frac{(q-1)p^m}{p} \right \rceil+\left \lceil \frac{(q-1)p^m}{p^2} \right \rceil+\left \lceil \frac{(q-1)p^m}{p^3} \right \rceil+...+\left \lceil \frac{(q-1)p^m}{p^m} \right \rceil$
$N_4=\left \lfloor \frac{(q-1)p^m}{p} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{(q-1)p^m}{p^2} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{(q-1)p^m}{p^3} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{(q-1)p^m}{p^m} \right \rfloor$
$\Rightarrow N_3=N_4\Rightarrow \dbinom{qp^m}{(q-1)p^m}$ không chia hết cho $p$
Vậy các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện đề bài có dạng $p^m$ (với $m$ nguyên dương).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 16-05-2019 - 17:56
- tritanngo99, Tea Coffee, tr2512 và 1 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, nhị thức
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh