Chủ đề này có 2 trả lời

[Momoko Suzuka]

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10, TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐHQG TPHCM, 2005-2006.

Dưới đây là câu cuối cùng của đề:

 Xét 81 chữ số, trong đó có 9 chữ số 1    ;   9 chữ số 2;...  ;  9 chữ số 9. Hỏi có thể sắp xếp được hay không tất cả các chữ số này thành một dãy sao cho với mọi $k=1,2,...,9$ trong mỗi khoảng giữa hai chữ số $k$ liên tiếp ở trên dãy có đúng $k$ chữ số ?

[Quoc Tuan Qbdh]

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10, TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐHQG TPHCM, 2005-2006.

Dưới đây là câu cuối cùng của đề:

 Xét 81 chữ số, trong đó có 9 chữ số 1    ;   9 chữ số 2;...  ;  9 chữ số 9. Hỏi có thể sắp xếp được hay không tất cả các chữ số này thành một dãy sao cho với mọi $k=1,2,...,9$ trong mỗi khoảng giữa hai chữ số $k$ liên tiếp ở trên dãy có đúng $k$ chữ số ?

 Giả sử có thể sắp xếp được $81$ chữ số đã cho thành một dãy sao cho với mọi $k=1,2,..,9$ trong mỗi khoảng giữa hai chữ số $k$ liên tiếp ở trên dãy có đúng $k$ chữ số.

 Xét với $k=9$ ta có tất cả $8$ khoảng giữa các chữ số $9$ liên tiếp ở trên dãy và mỗi khoảng có đúng $9$ chữ số.

Như vậy, giữa hai chữ số $9$ ở đầu bên phải và đầu bên trái của dãy bao gồm $8$ khoảng, mỗi có $9$ chữ số khác $9$ và $7$ chữ số $9$, tổng cộng là: $8.9+7=79$(số)

Như thế, hai chữ số $9$ ở đầu bên phải và đầu bên trái dãy nằm ở các vị trí đầu và cuối của dãy. 

 Xét với $k=8$ ta có dãy được tạo bởi hai số và các chữ số ở giữa chúng có tổng cộng: $2+8=10$(số)

Do đó, trong một khoảng giữa hai chữ số $9$ liên tiếp không thể có đồng thời hai chữ số $8$.

Mặt khác, trong dãy chỉ có $8$ khoảng giữa các chữ số $9$ liên tiếp nên chỉ có thể có $8$ chữ số $8$ ứng với $8$ khoảng đó.$(KTM)$

 Vậy không thế sắp xếp được $81$ chữ số đã cho thành một dãy sao cho với mọi $k=1,2,...,9$ trong mỗi khoảng giữa hai chữ số $k$ liên tiếp ở trên dãy có đúng $k$ chữ số. 

 

Bằng cách giải tương tự cũng có thể giải quyết bài toán sau:

Xét $n^{2}$ chữ số, trong đó có $n$ chữ số $1$; $n$ chữ số $2$;...; $n$ chữ số $n$. Hỏi có thể sắp xếp được hay không tất cả các chữ số này thành một dãy sao cho với mọi $k=1,2,...,n$ trong mỗi khoảng giữa hai chữ số $k$ liên tiếp ở trên dãy có đúng $k$ chữ số ? ( với $n$ là một số tự nhiên khác $0$ cho trước )

[I Love MC]

 Giả sử có thể sắp xếp được $81$ chữ số đã cho thành một dãy sao cho với mọi $k=1,2,..,9$ trong mỗi khoảng giữa hai chữ số $k$ liên tiếp ở trên dãy có đúng $k$ chữ số.

 

Another : 
Giả sử xếp được các số đã cho thành dãy sao cho với mọi $k=,1,2,..9$ trong mỗi khoảng giữa hai chữ số $k$ liên tiếp ở dãy trên có đúng $k$ chữ số (*)
Vì có 9 chữ số 9 nên số các khoảng giữa hai chữ số 9 liên tiếp là 8. Từ (*) có số ở giữa hai chữ số $9$,đầu tiên và cuối cùng (kể trừ trái sang phải) là $9x8=72$ . Theo đầu bài có 81 chữ số nên như vậy các chữ số đã cho đều nằm giữa hai chữ số 9 này. 
Ở mỗi khoảng cách giữa hai chữ số 9 liên tiếp có nhiều nhất là 1 chữ số 8 vì nếu có từ hai chữ số 8 trở lên thì (*) không thỏa mãn. 
Do vậy trên dãy này có nhiều nhất là 8 chữ số 8. Điều này mâu thuẫn với giả thiết là có 9 chữ số 8 . 
$\Rightarrow$ Điều giả sử sai. 
Kết luận : ...