Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm Max $Q=\sum \frac{xy}{x^{2}+xy+yz}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 nguyentan1983

nguyentan1983

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết

Đã gửi 21-03-2016 - 23:01

Cho $x, y, z > 0$. Tìm Max $Q=\frac{xy}{x^{2}+xy+yz}+\frac{yz}{y^{2}+yz+zx}+\frac{zx}{z^{2}+zx+xy}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 21-03-2016 - 23:53


#2 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 22-03-2016 - 00:04

Cho $x, y, z > 0$. Tìm Max $Q=\frac{xy}{x^{2}+xy+yz}+\frac{yz}{y^{2}+yz+zx}+\frac{zx}{z^{2}+zx+xy}$

Dự đoán $MaxQ=1$ khi $x=y=z$ nên Ta viết BĐT cần chứng minh lại thành: 

$\sum \frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{z}{x}+1} \leq 1$

 

Đổi biến $(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})=(a^3,b^3,c^3)$

 

$\Rightarrow abc=1$

 

BĐT cần chứng minh được viết lại thành:$\sum \frac{1}{a^3+b^3+1} \leq 1$

 

Áp dụng bổ để sau:$a^3+b^3 \geq ab(a+b)$ (Có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)

 

$VT=\sum \frac{1}{a^3+b^3+1} \leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+abc}=\sum \frac{c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}=1$

Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xẩy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z$



#3 nguyentan1983

nguyentan1983

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết

Đã gửi 22-03-2016 - 08:02

Dự đoán $MaxQ=1$ khi $x=y=z$ nên Ta viết BĐT cần chứng minh lại thành: 

$\sum \frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{z}{x}+1} \leq 1$

 

Đổi biến $(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})=(a^3,b^3,c^3)$

 

$\Rightarrow abc=1$

 

BĐT cần chứng minh được viết lại thành:$\sum \frac{1}{a^3+b^3+1} \leq 1$

 

Áp dụng bổ để sau:$a^3+b^3 \geq ab(a+b)$ (Có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)

 

$VT=\sum \frac{1}{a^3+b^3+1} \leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+abc}=\sum \frac{c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}=1$

Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xẩy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z$

cam on ban nhe






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh