Chủ đề này có 3 trả lời

[cool hunter]

Giả sử A là ma trận vuông phản đối xứng cấp n, B là ma trận vuông đối xứng cấp n sao cho AB=BA.

a, CMR: $\forall X\in M_{n,1}(\mathbb{R}),(AX)^tBX=0$

b, CMR: $\forall X\in M_{n,1}(\mathbb{R}),\left \| (A+B)X \right \|=\left \| (A-B)X \right \|$, trong đó $\left \| . \right \|$ ký hiệu chuẩn Euclide  chính tắc trên $M_{n,1}(\mathbb{R})$.

c, Ta giả sử thêm B khả nghịch. CMR: A+B và A-B khả nghịch và $(A+B)(A-B)^{-1}$ trực giao

[zarya]

a, Ta chứng minh số đối của số thực $^t(AX)BX\in\mathbb{R} $ bằng chính nó.

Ta có $^t(AX)BX=^t(^t(AX)BX)=^tX^tBAX=^tXBAX=^tXABX=-^tX^tABX=-^t(AX)BX$

Do đó: $^t(AX)BX=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zarya: 23-03-2016 - 08:59

[lvx]

b/

Có

$\left \| (A+B)X \right \|=\sum_{i,j}(a_{ij}+b_{ij})^2x_j^2$

$\left \| (A-B)X\right \|=\sum_{i,j}(a_{ij}-b_{ij})^2x_j^2 =\sum_{j,i}(-a_{ji}-b_{ji})^2x_i^2=\sum_{j,i}(a_{ji}+b_{ji})^2x_i^2$

Thay đổi vai trò biến đếm $i,j$, ta có: $\left \| (A+B)X \right \|=\left \| (A-B)X\right \|$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lvx: 23-03-2016 - 09:34

[buixuantruong]

c) Xét phương trình $(A-B)X=0$. Hiển nhiên $X=0$ là nghiệm của phương trình này. Ta sẽ chứng minh đó là nghiệm duy nhất.

Có $(A-B)X=0\Rightarrow AX=BX\Rightarrow (AX)^{t}(BX)=(BX)^{t}(BX)\Rightarrow (BX)^{t}(BX)=0$ (1)

Đặt $BX=\left ( c_{i} \right )_{n\times 1}\Rightarrow (BX)^{t}(BX)=\sum_{i=1}^{n}c_{i}^{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $c_{i}=0,i=\overline{1,n}$, tức là $BX=0$. Mà $B$ khả nghịch $\Rightarrow X=0$

Vậy $X=0$ là nghiệm duy nhất của phương trình $(A-B)X=0$. Do đó $det(A-B)\neq 0$.

$det(A+B)=det((A+B)^{t})=det(A^{t}+B^{t})=det(-A+B)=(-1)^{n}.det(A-B)\neq 0$

Vậy $A+B$ và $A-B$ đều khả nghịch.

$\left [ (A+B)(A-B)^{-1} \right ]\left [ (A+B)(A-B)^{-1} \right ]^{T}$

$=\left [ (A+B)(A-B)^{-1} \right ]\left [ (A+B)^{T}((A-B)^{T})^{-1} \right ]$

$=(A+B)(A-B)^{-1}(-A+B)(-A-B)^{-1}$

$=(-A-B)(A-B)^{-1}(A-B)(-A-B)^{-1} = I$

Vậy $(A+B)(A-B)^{-1}$ là ma trận trực giao.