Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

CMR: A+B và A-B khả nghịch và $(A+B)(A-B)^{-1}$ trực giao


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 cool hunter

cool hunter

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 524 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:lịch sử toán học

Đã gửi 22-03-2016 - 10:31

Giả sử A là ma trận vuông phản đối xứng cấp n, B là ma trận vuông đối xứng cấp n sao cho AB=BA.

a, CMR: $\forall X\in M_{n,1}(\mathbb{R}),(AX)^tBX=0$

b, CMR: $\forall X\in M_{n,1}(\mathbb{R}),\left \| (A+B)X \right \|=\left \| (A-B)X \right \|$, trong đó $\left \| . \right \|$ ký hiệu chuẩn Euclide  chính tắc trên $M_{n,1}(\mathbb{R})$.

c, Ta giả sử thêm B khả nghịch. CMR: A+B và A-B khả nghịch và $(A+B)(A-B)^{-1}$ trực giao


Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng

Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công

                                                                 


#2 zarya

zarya

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 145 Bài viết

Đã gửi 23-03-2016 - 08:57

a, Ta chứng minh số đối của số thực $^t(AX)BX\in\mathbb{R} $ bằng chính nó.

Ta có $^t(AX)BX=^t(^t(AX)BX)=^tX^tBAX=^tXBAX=^tXABX=-^tX^tABX=-^t(AX)BX$

Do đó: $^t(AX)BX=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zarya: 23-03-2016 - 08:59


#3 lvx

lvx

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 23-03-2016 - 09:32

b/

$\left \| (A+B)X \right \|=\sum_{i,j}(a_{ij}+b_{ij})^2x_j^2$

$\left \| (A-B)X\right \|=\sum_{i,j}(a_{ij}-b_{ij})^2x_j^2 =\sum_{j,i}(-a_{ji}-b_{ji})^2x_i^2=\sum_{j,i}(a_{ji}+b_{ji})^2x_i^2$

Thay đổi vai trò biến đếm $i,j$, ta có: $\left \| (A+B)X \right \|=\left \| (A-B)X\right \|$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lvx: 23-03-2016 - 09:34


#4 buixuantruong

buixuantruong

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Đã gửi 30-06-2016 - 11:18

c) Xét phương trình $(A-B)X=0$. Hiển nhiên $X=0$ là nghiệm của phương trình này. Ta sẽ chứng minh đó là nghiệm duy nhất.

Có $(A-B)X=0\Rightarrow AX=BX\Rightarrow (AX)^{t}(BX)=(BX)^{t}(BX)\Rightarrow (BX)^{t}(BX)=0$ (1)

Đặt $BX=\left ( c_{i} \right )_{n\times 1}\Rightarrow (BX)^{t}(BX)=\sum_{i=1}^{n}c_{i}^{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $c_{i}=0,i=\overline{1,n}$, tức là $BX=0$. Mà $B$ khả nghịch $\Rightarrow X=0$

Vậy $X=0$ là nghiệm duy nhất của phương trình $(A-B)X=0$. Do đó $det(A-B)\neq 0$.

$det(A+B)=det((A+B)^{t})=det(A^{t}+B^{t})=det(-A+B)=(-1)^{n}.det(A-B)\neq 0$

Vậy $A+B$ và $A-B$ đều khả nghịch.

$\left [ (A+B)(A-B)^{-1} \right ]\left [ (A+B)(A-B)^{-1} \right ]^{T}$

$=\left [ (A+B)(A-B)^{-1} \right ]\left [ (A+B)^{T}((A-B)^{T})^{-1} \right ]$

$=(A+B)(A-B)^{-1}(-A+B)(-A-B)^{-1}$

$=(-A-B)(A-B)^{-1}(A-B)(-A-B)^{-1} = I$

Vậy $(A+B)(A-B)^{-1}$ là ma trận trực giao.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh