Chủ đề này có 3 trả lời

[Ego]

Tập hợp các số nguyên dương được tô bởi 2 màu đen và trắng thỏa các điều kiện:
i) Tổng hai số khác màu thì được tô bằng màu đen.
ii) Có vô hạn số được tô bằng màu trắng.
Giả sử $a \ge 2$ là một số nguyên dương được tô màu trắng. Hỏi khi đó $a^{2017} - a$ được tô màu gì?

Spoiler

Một bài siêu hay trong giờ đội tuyển của mình. Không ai hứng thú với bài này trừ mình =))

[Visitor]

Tập hợp các số nguyên dương được tô bởi 2 màu đen và trắng thỏa các điều kiện:
i) Tổng hai số khác màu thì được tô bằng màu đen.
ii) Có vô hạn số được tô bằng màu trắng.
Giả sử $a \ge 2$ là một số nguyên dương được tô màu trắng. Hỏi khi đó $a^{2017} - a$ được tô màu gì?

Spoiler

Một bài siêu hay trong giờ đội tuyển của mình. Không ai hứng thú với bài này trừ mình =))

Minh cũng thấy hứng thú :v

Ta thấy:

+Nếu số $1$ màu trắng thì tất cả các số đều trắng vì nếu có số $n$ màu đen thì tất cả các số sau $n$ đều đen, mâu thuẫn với $ii$

Vậy $a^{2017}-a$ màu trắng.

+Nếu số $1$ màu đen. Ta gọi $k+1$ là số đầu tiên được tô màu trắng, tức là $1,2,...k$ đều màu đen.Từ $i$ ta có được là tất cả các số không có dạng $t(k+1)$ sẽ có màu đen. Ta chứng minh tất cả các số dạng $t(k+1)$ đều màu trắng.

Thật vậy, có $k+1$ trắng nên nếu mà có $h(k+1)$ nào đó mà đen thì theo $i$ : $t(k+1)$ sẽ đen với mọi $t\geq h$. Mâu thuẫn với $ii$.

Vậy chỉ có các số là bội của $k+1$ mới trắng còn lại đen hết.

Do đó, vì $a^{2017}-a\vdots a$ nên hiển nhiên nó màu trắng :v

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Visitor: 28-03-2016 - 23:29

[Ego]

@Visitor: Yeah, cậu làm đúng rồi. Gần giống lời giải tớ.
Thôi thì post luôn lời giải của tớ vậy =))

Gọi $k$ là số đầu tiên được tô màu trắng. Ta sẽ đi chứng minh $L.a$ được tô màu trắng ($a^{2017} - a$ hù nhau thôi ban đầu làm mình liên tưởng Fermat hay gì, haizz) với $L \ge 2$. Lưu ý là $k$ luôn tồn tại do $a$ được tô màu trắng.[list]
[*]Nếu $k = 1$, khi đó nếu $La$ tô đen thì chứng minh theo quy nạp ta thu được $La + 1, La + 2, \cdots$ được tô màu đen. Vô lí từ ii)
[*]Nếu $k = a$, khi đó các số $1, 2, \cdots a - 1$ đều được tô màu đen. Xét theo modulo $a$ và chứng minh theo quy nạp, ta thu được $Xa + Y$ với $Y \not\equiv 0\pmod{a}$ luôn được tô màu đen. Nếu có một $T$ nào đó sao cho $Ta$ cũng được tô đen thì $(T + 1)a, (T + 2)a, \cdots$ đều được tô đen. Vô lí từ ii)
[*]Nếu $1 < k < a$, tương tự ta cũng thu được $1, 2, \cdots, k - 1$ được tô đen. Xét theo modulo $k$ và chứng minh theo quy nạp, ta thu được $Xk + Y$ với $Y \not\equiv 0\pmod{k}$ luôn được tô đen. Chứng minh tương tự ý thứ hai ta cũng thu được $Tk$ là màu trắng. Nhận xét thêm là bây giờ các số được tô trắng khi và chỉ khi nó là bội của $k$, từ nhận xét này cho ta $k\mid a$. Thế nên nếu giờ $La$ được tô trắng thì khỏi bàn, bài toán đúng; nếu ngược lại là $La$ tô đen thì ta có từ nhận xét và $k\mid a\mid La$ ta thu được chỉ có hữu hạn số tô trắng.
[/list]
Bài toán được chứng minh. $\bigstar$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 29-03-2016 - 08:22

[Visitor]

1 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Visitor: 29-03-2016 - 00:34