Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi HSG lớp 11 tỉnh Quảng Bình 2 ngày


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
HoangVienDuy

HoangVienDuy

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

Thời gian cho cả 2 ngày thi đều là 180 phút

Ngày 1 ( 23/3/2016 )

 Câu 1.

        a) Giải phương trình $4\sin^2 x\cos x+2\cos 2x=\cos x+\sqrt{3}\sin 3x$

        b) Giải hệ $\left\{\begin{matrix} (x+y)\left ( 1+\dfrac{1}{xy} \right )=5\\ (x^2+y^2)\left ( 1+\dfrac{1}{x^2y^2} \right )=9 \end{matrix}\right. \ \ \ \ (x,y\in \mathbb{R})$

 Câu 2.

        a) Tìm giới hạn $\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{\sqrt[3]{1+3x}-\sqrt{1+2x}}{x^2}$

        b) Tìm $\lim \dfrac{u_n}{3^n}$ biết $(u_n)$ được xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_1=1\\ u_{n+1}=3u_n+2n-1,n\geq 1\end{matrix}\right.$  

 Câu 3.

        Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Trên $AC$ lấy $M$ sao cho $MA=3MC$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua M và song song $mp(A'BC)$, cắt $AC'$ tại $N$

        a) Xác định thiết diện của hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ khi cắt bởi $(\alpha )$

        b) Chứng minh $N$ trung điểm $AC'$

 Câu 4.

        Cho đa giác đều gồm 2017 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác gồm 2 màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng ắt phải tồn tại 3 đỉnh được sơn cùng màu tạo thành một tam giác cân

 Câu 5.

        Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn đồng thời các điều kiện :

        i) $(x+2)(y+2)=3(x^2+y^2+\sqrt{xy})$

        ii) $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^3=4(x^3+y^3)$

                  Chứng minh rằng $\sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ 

 ----------------------------------------------

 Ngày 2 ( 24/3/2016 )

 Câu 1. 

        a) Giải phương trình $(1-\sqrt{1-x})\sqrt[3]{2-x}=x$ với $x\in \mathbb{R}$

        b) Chứng minh rằng phương trình $p(x-a)(x-c)+q(x-b)(x-d)=0)$ (ẩn $x$) luôn có nghiệm, biết $a<b<c<d$ và $p,q$ là hai số thực bất kì

 Câu 2.

        Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_1=5\\ u_{n+1}=(u_n-2)^2,\forall n\geq 1\end{matrix}\right.$. Tìm $\lim \dfrac{u_1u_2...u_n}{u_{n+1}}$

 Câu 3.

        Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, ngoại tiếp $(I)$. Gọi $(J)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$; $IJ$ cắt $O$ tại $M$ khác $A$. Gọi $N$ là điểm chính giữa cung $ABM$; $NI$ và $NJ$ cắt $(O)$ tại $S$ và $T$.

        a) Chứng minh $MI=MJ$

        b) Chứng minh $IJ,\ BC,\ TS$ đồng quy

 Câu 4.

        Xác định số cách chọn bộ 100 số từ tập hợp 2016 số nguyên dương đầu tiên sao cho bất kì cặp 2 trong 100 số được chọn có hiệu số giữa số lớn và số bé lớn hơn hoặc bằng 2.

 Câu 5. 

        Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $2^{2n-1}-2^n+1$ là số chính phương

 

__________________HẾT______________________


Có một người đi qua hoa cúc

Có hai người đi qua hoa cúc

Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...

FB:https://www.facebook.com/hoang.vienduy


#2
Issac Newton of Ngoc Tao

Issac Newton of Ngoc Tao

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 756 Bài viết

 

Thời gian cho cả 2 ngày thi đều là 180 phút

Ngày 1 ( 23/3/2016 )

 Câu 1.

        a) Giải phương trình $4\sin^2 x\cos x+2\cos 2x=\cos x+\sqrt{3}\sin 3x$

        b) Giải hệ $\left\{\begin{matrix} (x+y)\left ( 1+\dfrac{1}{xy} \right )=5\\ (x^2+y^2)\left ( 1+\dfrac{1}{x^2y^2} \right )=9 \end{matrix}\right. \ \ \ \ (x,y\in \mathbb{R})$

 Câu 2.

        a) Tìm giới hạn $\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{\sqrt[3]{1+3x}-\sqrt{1+2x}}{x^2}$

        b) Tìm $\lim \dfrac{u_n}{3^n}$ biết $(u_n)$ được xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_1=1\\ u_{n+1}=3u_n+2n-1,n\geq 1\end{matrix}\right.$  

 Câu 3.

        Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Trên $AC$ lấy $M$ sao cho $MA=3MC$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua M và song song $mp(A'BC)$, cắt $AC'$ tại $N$

        a) Xác định thiết diện của hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ khi cắt bởi $(\alpha )$

        b) Chứng minh $N$ trung điểm $AC'$

 Câu 4.

        Cho đa giác đều gồm 2017 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác gồm 2 màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng ắt phải tồn tại 3 đỉnh được sơn cùng màu tạo thành một tam giác cân

 Câu 5.

        Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn đồng thời các điều kiện :

        i) $(x+2)(y+2)=3(x^2+y^2+\sqrt{xy})$

        ii) $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^3=4(x^3+y^3)$

                  Chứng minh rằng $\sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ 

 ----------------------------------------------

Câu 1:a, Ta có: $PT\Leftrightarrow cosx(4sin^{2}x-1)+2cos2x=\sqrt{3}sin3x\Leftrightarrow cosx(3-4cos^{2}x)+2cos2x=\sqrt{3}sin3x\Leftrightarrow 2cos2x=\sqrt{3}sin3x+cos3x\Leftrightarrow cos2x=sin(3x+\frac{\pi }{6})$

b,Ta có: $HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5 & & \\ x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=9 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y})=5 & & \\ (x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}=13 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=5 & \\ a^{2}+b^{2}=13 & \end{matrix}\right.;a=x+\frac{1}{x},b=y+\frac{1}{y}$

Câu 2: a,$A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1+3x}-x-1+x+1-\sqrt{2x+1}}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{-3-x}{(\sqrt[3]{1+3x})^{2}+(x+1)\sqrt[3]{1+3x}+(x+1)^{2}}+\frac{1}{x+1+\sqrt{2x+1}})=\frac{-1}{2}$

b, Ta có: $U_{n+1}+n+1=3(U_{n}+n)= ...=3^{n}(U_{1}+1)=2.3^{n}\Leftrightarrow U_{n}=2.3^{n-1}-n\Leftrightarrow \frac{U_{n}}{3^{n}}=\frac{2}{3}-\frac{n}{3^{n}}\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{U_{n}}{3^{n}}=\frac{2}{3}$. :D 


"Attitude is everything"


#3
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

 Câu 4.

        Cho đa giác đều gồm 2017 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác gồm 2 màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng ắt phải tồn tại 3 đỉnh được sơn cùng màu tạo thành một tam giác cân 
Câu này giống ý chang câu chuyên tin QH 2015-2016 phải ko oppa :D 
Vì có $2017$ đỉnh mà mỗi điểm chỉ tô $2$ màu nên tồn tại $2$ điểm liền kề tô cùng màu. 
Giả sử $2$ điểm đó là $P,Q$ được tô cùng màu xanh. Đường trung trực của $PQ$ cắt đa giác tại một điểm và điểm đó là một điểm của đa giác có $2017$ đỉnh đó. Giả sử đó là điểm $A$ nếu $A$ cùng màu với $P,Q$ thì ta có đpcm. Nếu $A$ có màu đỏ thì xét $2$ điểm liền kề với $P,Q$. Gọi đó là $B,C$. Nếu $B,C$ đều tô màu đỏ thì ta có điều phải chứng minh. Nếu $B,C$ một xanh một đỏ thì lúc đó $\triangle{BPQ}$ hoặc $\triangle{CPQ}$ là các tam giác cân và cùng màu. 
Vậy ta có điều phải chứng minh. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 24-03-2016 - 22:19


#4
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

 Lời giải của mình cho bài 5 ngày 2.

 Với $n=1$ thì bài toán thỏa mãn

 Với $n\geq 2$, do $2^{2n-1}-2^n+1$ lẻ nên để nó là số chính phương thì phải là số chính phương lẻ. Đặt $2^{2n-1}-2^n+1=(2k+1)^2$ với $k\in \mathbb{N^*}$

 Khi đó phương trình tương đương với $2^n(2^{n-1}-1)=4k(k+1)$

 Ta xét 2 trường hợp nhỏ

    - TH1: Nếu $k$ chẵn, đặt $k=2^r.s$ với $(s,2)=1$, $r,s\in \mathbb{N^*}$, phương trình tương đương $2^n(2^{n-1}-1)=2^{r+2}s(2^r.s+1)$

    Khi đó, từ phương trình ta sẽ suy ra $2^n=2^{r+2}$ và $2^{n-1}-1=s(2^rs+1)$

    Từ $2^n=2^{r+2}$ suy ra $2^n=2^{r+2}=0$ hoặc $n=r+2$ mà $2^n>0$ nên $n=r+2$

    Suy ra $2^{r+1}-1=2^r.s^2+s$ hay $2^r(2-s^2)=s+1$ suy ra $s^2<2\Rightarrow s=1\Rightarrow r=1\Rightarrow n=3$

    - TH2: Nếu $k$ lẻ thì $k+1$ chẵn. Đặt $k+1=2^u.v$ với $(v,2)=1,\ v,s\in \mathbb{N^*}$

    Khi đó phương trình tương đương $2^n(2^{n-1}-1)=4(2^uv-1).2^uv$, tương tự trường hợp trên ta suy ra $n=u+2$ và $2^{n-1}-1=(2^uv-1)v$

    Hay $2^{u+1}-1=2^uv^2-v\Leftrightarrow v-1=2^u(v^2-2)\Rightarrow v^2-2\mid v-1\Rightarrow v-1\geq v^2-2\Rightarrow v=1$

    Mà từ đó thì $2^{u+1}=2^u$ điều này là vô lí. Vậy trong TH này không có $n$ thỏa mãn

  Vậy $n=1$ và $n=3$ là hai số thỏa mãn yêu cầu bài toán :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 25-03-2016 - 23:44


#5
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

 

 

 Câu 3.

        Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, ngoại tiếp $(I)$. Gọi $(J)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$; $IJ$ cắt $O$ tại $M$ khác $A$. Gọi $N$ là điểm chính giữa cung $ABM$; $NI$ và $NJ$ cắt $(O)$ tại $S$ và $T$.

        a) Chứng minh $MI=MJ$

        b) Chứng minh $IJ,\ BC,\ TS$ đồng quy

 

 

 

 

Câu a) ta có $M$ là tâm đường tròn $(BIC)$

$MI=MB$, $\angle IBJ=90$

theo tính chất tam giác vuông suy ra $MI=MJ=MB$

Câu b) câu hình trong đề Iran NMO 2001

https://www.artofpro...blems/Problem_5



#6
Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết

Câu 5 vòng 1 chú ý đánh giá từ phương trình 1 có $x^2+y^2\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}$ (tách vế trái ra dùng C-S)

Còn ở PT 2 thì chứng minh $\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq x^2+y^2$

Câu 4 vòng 2:

Đặt 100 số đó là $x_1,x_2,...,x_100$, đặt $y_1=x_1;y_2=x_1-1;...;y_{100}=x_{100}-99$ thì $1\leq y_1<y_2<...<y_{100}\leq 1917$

Do đó số cách chọn là $1917C100$

Câu hình thì câu a đơn giản, câu b chứng minh $JTIS$ nội tiếp (biến đổi góc hoặc cạnh, tùy)


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#7
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Câu 1 : Nhân lượng liên hợp $x\sqrt[3]{2-x}=x(1+\sqrt{1-x})$ 
Từ đó suy ra $\sqrt[3]{2-x}-\sqrt{1-x}=1$ 
Đặt $a=\sqrt[3]{2-x},b=\sqrt{1-x}$ 
Khi đó ta có hệ $\begin{cases} &a-b=1&\\&a^3-b^2=1& \end{cases}$ giải bằng phương pháp thế ~~



#8
quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết

Câu 1:a, Ta có: $PT\Leftrightarrow cosx(4sin^{2}x-1)+2cos2x=\sqrt{3}sin3x\Leftrightarrow cosx(3-4cos^{2}x)+2cos2x=\sqrt{3}sin3x\Leftrightarrow 2cos2x=\sqrt{3}sin3x+cos3x\Leftrightarrow cos2x=sin(3x+\frac{\pi }{6})$

b,Ta có: $HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5 & & \\ x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=9 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y})=5 & & \\ (x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}=13 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=5 & \\ a^{2}+b^{2}=13 & \end{matrix}\right.;a=x+\frac{1}{x},b=y+\frac{1}{y}$

Câu 2: a,$A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1+3x}-x-1+x+1-\sqrt{2x+1}}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{-3-x}{(\sqrt[3]{1+3x})^{2}+(x+1)\sqrt[3]{1+3x}+(x+1)^{2}}+\frac{1}{x+1+\sqrt{2x+1}})=\frac{-1}{2}$

b, Ta có: $U_{n+1}+n+1=3(U_{n}+n)= ...=3^{n}(U_{1}+1)=2.3^{n}\Leftrightarrow U_{n}=2.3^{n-1}-n\Leftrightarrow \frac{U_{n}}{3^{n}}=\frac{2}{3}-\frac{n}{3^{n}}\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{U_{n}}{3^{n}}=\frac{2}{3}$. :D 

$lim\frac{n}{3^{n}}=0$ cũng cần phải chứng minh chứ nhỉ.

Mình làm ntn, không biết có phức tạp vấn đề quá ko @@ :

$\frac{n-1+n}{n}=\frac{1+1+..+1+n}{n}> \sqrt[n]{n}$ (AM-GM)

Suy ra: $0< (\frac{\sqrt[n]{n}}{3})^{n}< (\frac{2-\frac{1}{n}}{3})^{n}< (\frac{2}{3})^{n}$

Theo nguyên lý kẹp suy ra đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 04-04-2016 - 07:06

Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#9
quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết

 

Thời gian cho cả 2 ngày thi đều là 180 phút

 

 Câu 3.
        Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Trên $AC$ lấy $M$ sao cho $MA=3MC$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua M và song song $mp(A'BC)$, cắt $AC'$ tại $N$
        a) Xác định thiết diện của hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ khi cắt bởi $(\alpha )$
        b) Chứng minh $N$ trung điểm $AC'$
 

__________________HẾT______________________

 

Câu 3b ngày 1 đề có bị sai ko vậy @@
Nếu N là trung điểm AC' thì N cũng là trung điểm A'C, suy ra N thuôc A'BC (vô lý vì (a) song song (A'BC) )
Theo đề thì tính được: AN=3/7.AC'


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 04-04-2016 - 10:05

Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#10
quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết

 

Thời gian cho cả 2 ngày thi đều là 180 phút

 

 Ngày 2 ( 24/3/2016 )

 Câu 1. 

        a) Giải phương trình $(1-\sqrt{1-x})\sqrt[3]{2-x}=x$ với $x\in \mathbb{R}$

        b) Chứng minh rằng phương trình $p(x-a)(x-c)+q(x-b)(x-d)=0)$ (ẩn $x$) luôn có nghiệm, biết $a<b<c<d$ và $p,q$ là hai số thực bất kì

 

__________________HẾT______________________

 

Câu 1b ngày 2:

Ta có: $f(a).f(c)=q^2.(a-b)(a-d)(c-b)(c-d)\leq 0$

Suy ra PT có nghiệm thuộc đoạn [a;c]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 04-04-2016 - 10:05

Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#11
quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết

 

Thời gian cho cả 2 ngày thi đều là 180 phút

 

 Câu 2.

        Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_1=5\\ u_{n+1}=(u_n-2)^2,\forall n\geq 1\end{matrix}\right.$. Tìm $\lim \dfrac{u_1u_2...u_n}{u_{n+1}}$

 

 

__________________HẾT______________________

 

Câu 2 ngày 2:

Ta có: $U_{n+1}-4=U_n(U_n-4)$

Dự đoán: $U_1.U_2...U_{n}=U_{n+1}-4$

Dễ dàng chứng minh CT trên bằng quy nạp

Chứng minh được: $limU_n=+\infty $ (dãy tăng và ko có giới hạn hữu hạn)

Từ đó suy ra: $\lim \dfrac{u_1u_2...u_n}{u_{n+1}}=lim(1-\frac{4}{U_{n+1}})=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 04-04-2016 - 10:05

Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#12
quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết

 

Thời gian cho cả 2 ngày thi đều là 180 phút

Ngày 1 ( 23/3/2016 )

 

 Câu 4.

        Xác định số cách chọn bộ 100 số từ tập hợp 2016 số nguyên dương đầu tiên sao cho bất kì cặp 2 trong 100 số được chọn có hiệu số giữa số lớn và số bé lớn hơn hoặc bằng 2.

 

 

__________________HẾT______________________

 

Câu 4 ngày 2:

Xét ánh xạ f cho tương ứng mỗi bộ A gồm 100 số từ tập hợp 2016 số nguyên dương đầu tiên sao cho bất kì cặp 2 trong 100 số được chọn có hiệu số giữa số lớn và số bé lớn hơn hoặc bằng 2 với bộ B gồm 100 số phân biệt từ tập 1917(=2016-99) số nguyên dương đầu tiên.

Dễ thấy f là một song ánh, mặt khác mỗi bộ B là một tổ hợp chập 1917 của 100 phần tử. Suy ra số cách chọn thỏa mãn đề bài là: $C_{1917}^{100}\textrm{}$


Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh