Câu 1: (3,0 điểm)
a) Chứng minh với mọi số tự nhiên n, ta có $6^{2n}+19^n-2^{n+1}$ chia hết cho 17.
b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $2x^2-2xy-5x+y+19=0$
Câu 2: (3,0 điểm) Cho $A=\frac{x\sqrt{x}-3}{x-2\sqrt{x}-3}-\frac{2\left ( \sqrt{x}-3 \right )}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}$ với $x\geq 0; x\neq 9$.
a) Rút gọn A.
b) Tìm GTNN của A.
Câu 3: (3,0 điểm)
a) Giải phương trình $\sqrt{2x-3}+6=2x+\sqrt{x}$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2-2y^2=xy+x+y\\ x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-y+1 \end{matrix}\right.$
Câu 4: (3,0 điểm)
a) Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn $x+y+z=6$ và $x^2 + y^2 + z^2 =12$. Tính GTBT $Q=\left ( x-3 \right )^{2016}+\left ( y-3 \right )^{2016}+\left ( z-3 \right )^{2016}$
b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn $4c+2b\geq a\left ( b^2+c^2 \right )$. Tìm GTNN của biểu thức: $S=\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{a+c-b}+\frac{5}{a+b-c}$
Câu 5: (4,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn, lấy điểm M khác A. Vẽ tiếp tuyến thứ hai MC của (O) (C là tiếp điểm). MB cắt (O) tại D khác B. Gọi H là giao điểm của OM và AC.
a) Chứng minh $\widehat{ABH}=\widehat{CAD}$
b) Gọi N là giao điểm của AC và BD. Chứng minh $\frac{1}{MD}+\frac{1}{MB}=\frac{2}{MN}$
Câu 6: (4,0 điểm)
Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Đường tròn (O) thay đổi đi qua hai điểm B, C và có tâm O không nằm trên đường thẳng d. Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN của (O) tại M và N. AO cắt MN tại H; đường thẳng AO cắt (O) tại P và Q (P nằm giữa A và O). Gọi D là trung điểm HQ. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc MD cắt đường thẳng MP tại E.
a) Chứng minh P là trung điểm ME.
b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định khi đường tròn (O) thay đổi.