Chủ đề này có 3 trả lời

[chidungdijiyeon]

Cho số thực x thỏa:

 

$2(4x^{3}-x+3)^{3}=3+2x^{3}$

 

Tính giá trị biểu thức M=$x^{9}+x^{6}+x^{3}+1$

 

(Đề thi HSG toán tỉnh Bến Tre năm 2014)

[supermember]

Lời giải:

 

Ta đặt $ y = 2x$ suy ra phương trình đầu tiên tương đương với:

 

$ 2 \left( \frac{y^3}{2} - \frac{y}{2} +3 \right)^3 = 3 + \frac{y^3}{4}$

 

Nên nhân $2$ vế của phương trình trên với $4$ thì ta có phương trình:

 

$ (y^3 - y+6)^3 = 12+ y^3$

 

Tới đây ta nhìn thấy phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình:

Thật vậy, đặt $ z= y^3 -y+6$  thì phương trình đã cho tương đương với:

 

$\left\{\begin{matrix}
z=y^3-y+6 & \\
y^3+12=z^3   (*) &
\end{matrix}\right.$

 

Suy ra: $ z^3 - z = y^3 +12- y^3 + y-6 = y+6 \implies  y = z^3-z-6  $

Nên hệ đã cho sẽ tương đương với:

 

 

$\left\{\begin{matrix}
z=y^3-y+6 & \\
y = z^3-z-6 &
\end{matrix}\right.$

Suy ra:  $ z+ y = y^3+z^3 - (y+z) \iff (y+z) \cdot \left( y^2 -yz +z^2 -2 \right) =0$

 

Tương đương với: $ z=-y$ hoặc $y^2-yz+ z^2 =2$

 

Thay $z= -y$ vào $(*)$ thì ta có: $ y^3 = -6 \iff y = -\sqrt[3]{6}$

 

$ \implies x = - \sqrt[3]{ \frac{3}{4}} \implies M = (1+x^3)(1+x^6) = \left(1 - \frac{3}{4} \right) \left(1 + \frac{9}{16} \right)  = \frac{25}{64}$

 

Như vậy chỉ còn 1 trường hợp cần xét:

 

$\left\{\begin{matrix}
y^2-yz+z^2 =2  & \\
y^3+12 = z^3 &
\end{matrix}\right.$    

 

$\iff \left\{\begin{matrix} y^2-yz+z^2=2 & \\ (y-z)(y^2+yz+z^2)=  -12   (**)& \end{matrix}\right.$

 

Nhưng hệ này vô nghiệm vì với những cặp số thực $(y;z)$ thỏa $y^2-yz+z^2=2$ thì theo bất đẳng thức Cauchy:

 

$ (y-z)^2 \cdot (y^2+yz+z^2)^2 \leq \left( \frac{ (y-z)^2 + (y^2+yz+z^2) + (y^2+yz+z^2)}{3} \right)^3  = (y^2+z^2)^3 \leq (2(y^2-yz+z^2))^3 = 4^3 < 12^2$

Mâu thuẫn với $(**)$

 

Do đó M chỉ có thể nhận $1$ giá trị duy nhất là $\frac{25}{64}$

 

Và bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 06-05-2016 - 21:52

[hoilamchi]

 

Lời giải:

 

Ta đặt $ y = 2x$ suy ra phương trình đầu tiên tương đương với:

 

$ 2 \left( \frac{y^3}{2} - \frac{y}{2} +3 \right)^3 = 3 + \frac{y^3}{4}$

 

Nên nhân $2$ vế của phương trình trên với $4$ thì ta có phương trình:

 

$ (y^3 - y+6)^3 = 12+ y^3$

 

Tới đây ta nhìn thấy phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình:

Thật vậy, đặt $ z= y^3 -y+6$  thì phương trình đã cho tương đương với:

 

$\left\{\begin{matrix}
z=y^3-y+6 & \\
y^3+12=z^3   (*) &
\end{matrix}\right.$

 

Suy ra: $ z^3 - z = y^3 +12- y^3 + y-6 = y+6 \implies  y = z^3-z-6  $

Nên hệ đã cho sẽ tương đương với:

 

 

$\left\{\begin{matrix}
z=y^3-y+6 & \\
y = z^3-z-6 &
\end{matrix}\right.$

Suy ra:  $ z+ y = y^3+z^3 - (y+z) \iff (y+z) \cdot \left( y^2 -yz +z^2 -2 \right) =0$

 

Tương đương với: $ z=-y$ hoặc $y^2-yz+ z^2 =2$

 

Thay $z= -y$ vào $(*)$ thì ta có: $ y^3 = -6 \iff y = -\sqrt[3]{6}$

 

$ \implies x = - \sqrt[3]{ \frac{3}{4}} \implies M = (1+x^3)(1+x^6) = \left(1 - \frac{3}{4} \right) \left(1 + \frac{9}{16} \right)  = \frac{25}{64}$

 

Như vậy chỉ còn 1 trường hợp cần xét:

 

$\left\{\begin{matrix}
y^2-yz+z^2 =2  & \\
y^3+12 = z^3 &
\end{matrix}\right.$    

 

$\iff \left\{\begin{matrix} y^2-yz+z^2=2 & \\ (y-z)(y^2+yz+z^2)=  -12   (**)& \end{matrix}\right.$

 

Nhưng hệ này vô nghiệm vì với những cặp số thực $(y;z)$ thỏa $y^2-yz+z^2=2$ thì theo bất đẳng thức Cauchy:

 

$ (y-z)^2 \cdot (y^2+yz+z^2)^2 \leq \left( \frac{ (y-z)^2 + (y^2+yz+z^2) + (y^2+yz+z^2)}{3} \right)^3  = (y^2+z^2)^3 \leq (2(y^2-yz+z^2))^3 = 4^3 < 12^2$

Mâu thuẫn với $(**)$

 

Do đó M chỉ có thể nhận $1$ giá trị duy nhất là $\frac{25}{64}$

 

Và bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn

Anh có ý tưởng gì cho việc đặt $2x=y$ ngay dòng đầu không ạ?

[An Infinitesimal]

 

 

Anh có ý tưởng gì cho việc đặt $2x=y$ ngay dòng đầu không ạ?

 

 

 

http://diendantoanho...-học-2014-2015/

 

 

 

Đặt $v=4x^{3}-x+3$, ta có hệ sau

 

\[4x^3-x-v=-3,\]

\[2v^3-2x^3=3.\]

 

Suy ra $2(x^3+v^3)=x+v.$

 

 

 

Do đó $x+v=0 \vee 2x^2+2v^2=2xv+1.$

 

Ta sẽ chứng minh trường hợp $ 2x^2+2v^2=2xv+1 $ không xảy ra. Thật vậy, từ phương trình này, ta suy ra $ x^2+v^2\le 1. $

Do đó \[3= 2(x^3-v^3)=(x-v)(x^2+v^2+xv) \le \sqrt{2(x^2+v^2)} \frac{3(x^2+v^2)}{2} \le \frac{3}{\sqrt{2}}<3 \text{(vô lý)}.\]

 

Từ $ x+v=0 $, suy ra $ x^3= \frac{-3}{4} $. Suy ra $ M= \frac{25}{64}. $

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 17-07-2016 - 14:22