Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

$\frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 yeutoanmaimai1

yeutoanmaimai1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi không có sự sống
  • Sở thích:hình học phẳng

Đã gửi 25-03-2016 - 20:18

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$ Chúng minh

$\frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}$



#2 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 25-03-2016 - 20:33

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$ Chúng minh

$\frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}$

 

$x+2y+3=(x+y)+(y+1)+2\geq 2\sqrt{xy}+2\sqrt{y}+2=2(\sqrt{xy}+\sqrt{y}+1)$  

     

$\Rightarrow \frac{1}{x+2y+3}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{y}+1})$ 

 

Tương tự:  $\frac{1}{y+2z+3}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{yz}+\sqrt{z}+1})$

                  $\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{zx}+\sqrt{x}+1})$

 

$\Rightarrow \frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{y}+1}+\frac{1}{\sqrt{yz}+\sqrt{z}+1}+\frac{1}{\sqrt{zx}+\sqrt{x}+1})=\frac{1}{2}$             (do $xyz=1$)

..........................................


:huh:


#3 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 25-03-2016 - 20:42

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$ Chúng minh

$\frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}$

Chuyển $(x;y;z) => (a^{2};b^{2};c^{2})$

Ta $abc=1$

BĐT cần chứng minh: $ \dfrac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\dfrac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\dfrac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\le \dfrac{1}{2}$

Ta : $a^{2}+2b^{2}+3=(a^{2}+b^{2})+(b^{2}+1)+2 \ge 2ab+2b+2=2(ab+b+1)$

Suy ra $ \dfrac{1}{a^{2}+2b^{2}+3} \le \dfrac{1}{2(ab+b+1)}$

Tương tự

$ \dfrac{1}{b^{2}+2c^{2}+3} \le \dfrac{1}{2(bc+c+1)} $

$ \dfrac{1}{c^{2}+2a^{2}+3} \le \dfrac{1}{2(ac+a+1)} $

Sử dụng đồng nhất thức quen thuộc:

$ \dfrac{1}{ab+a+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}{ac+a+1}=1 $ với $ abc=1 $

suy ra đpcm






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh