Chủ đề này có 2 trả lời

[yeutoanmaimai1]

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$ Chúng minh

$\frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}$

[PlanBbyFESN]

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$ Chúng minh

$\frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}$

 

$x+2y+3=(x+y)+(y+1)+2\geq 2\sqrt{xy}+2\sqrt{y}+2=2(\sqrt{xy}+\sqrt{y}+1)$  

     

$\Rightarrow \frac{1}{x+2y+3}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{y}+1})$ 

 

Tương tự:  $\frac{1}{y+2z+3}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{yz}+\sqrt{z}+1})$

                  $\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{zx}+\sqrt{x}+1})$

 

$\Rightarrow \frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{y}+1}+\frac{1}{\sqrt{yz}+\sqrt{z}+1}+\frac{1}{\sqrt{zx}+\sqrt{x}+1})=\frac{1}{2}$             (do $xyz=1$)

..........................................

[anhquannbk]

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$ Chúng minh

$\frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}$

Chuyển $(x;y;z) => (a^{2};b^{2};c^{2})$

Ta có $abc=1$

BĐT cần chứng minh: $ \dfrac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\dfrac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\dfrac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\le \dfrac{1}{2}$

Ta có: $a^{2}+2b^{2}+3=(a^{2}+b^{2})+(b^{2}+1)+2 \ge 2ab+2b+2=2(ab+b+1)$

Suy ra $ \dfrac{1}{a^{2}+2b^{2}+3} \le \dfrac{1}{2(ab+b+1)}$

Tương tự

$ \dfrac{1}{b^{2}+2c^{2}+3} \le \dfrac{1}{2(bc+c+1)} $

$ \dfrac{1}{c^{2}+2a^{2}+3} \le \dfrac{1}{2(ac+a+1)} $

Sử dụng đồng nhất thức quen thuộc:

$ \dfrac{1}{ab+a+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}{ac+a+1}=1 $ với $ abc=1 $

suy ra đpcm