Chủ đề này có 1 trả lời

[Gachdptrai12]

1)Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=a+b+c. Tìm số thực k lớn nhất sao cho ta luôn có bất đẳng thức :

$\left ( a+b+c \right )\left ( \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \right )\geq k(a+b+c+1)$

 2)Tìm số thực M lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi a,b,c dương.

$a^3+b^3+c^3-3abc\geq M\left ( ab^2+bc^2+ca^2-3abc \right )$ (thổ Nhĩ Kỳ MO)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 25-03-2016 - 22:18

[dark templar]

 

1)Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=a+b+c. Tìm số thực k lớn nhất sao cho ta luôn có bất đẳng thức :

$\left ( a+b+c \right )\left ( \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \right )\geq k(a+b+c+1)$

 

Cho $a=0$ thì ta dễ dàng thu được $k \le 1$.Ta sẽ chứng minh $k=1$ là giá trị cần tìm.

 

Với $k=1$,ta cần chứng minh :

$$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geqslant a+b+c+1$$

 

Hay:

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geqslant a+b+c-2$$

 

Hay:

$$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+\left ( ab+bc+ca \right )\left ( a+b+c \right )}{\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )-abc}\geqslant a+b+c-2$$

 

Hay:

$$\left ( a+b+c \right )\left [ \left ( a+b+c \right )^{2}-3\left ( ab+bc+ca \right ) \right ]+3abc+\left ( a+b+c \right )^{2}\geqslant \left ( a+b+c-2 \right )\left [ \left ( a+b+c \right )^{2}-abc \right ]$$

 

Hay:

$$\left ( a+b+c \right )^{2}\left ( a+b+c-2 \right )+abc\left ( a+b+c+1 \right )\geqslant \left ( a+b+c \right )^{2}\left ( a+b+c-2 \right )$$

 

BĐT trên luôn đúng với mọi $a,b,c \ge 0$.Ta có đpcm.