Đến nội dung

Hình ảnh

tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho T= $2^n+3^n+4^n$ là bình phương của 1 số nguyên

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
shinran135

shinran135

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết

tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho T= $2^n+3^n+4^n$ là bình phương của 1 số nguyên 



#2
OiDzOiOi

OiDzOiOi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết

xét n>2   $2^{n}+3^{n}+4^{n}\equiv (-1)^{n}+1$ ( mod 3 ) suy ra n lẻ. 

$n= 2k+1\Rightarrow 3^{n}=3^{2k+1}=9^{k}.3=(8+1)^{k}.3\equiv 3$ ( mod 8 )

Mà $n\geq 3\Rightarrow (2^{n}+4^{n})\vdots 8$ do đó $2^{n}+3^{n}+4^{n}\equiv 3$ ( mod 8 ) mọi n>2

suy ra n<2 


What is .......>_<.....


#3
HoaiBao

HoaiBao

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Trường hợp: n là số chẵn

Đặt $n=2k$$\Rightarrow 2^n+3^2+4^2=4^k++3^{2k}+4^{2k}$ chia cho 3 dư 2 nên không phải là số chính phương

Trường hợp: n là số lẽ.

Với $n=1$ thì $2^n+3^n+4^n=9$ là số chính phương.

Với $n\geq3$ 

Đặt $n=2t+1 (t\geq1) \Rightarrow 2^n+3^n+4^n=2.(4^t)+3.(9^t)+4^{2t+1}$ chia cho 4 dư 3 nên không phải là số chính phương.

Vậy ta chọn $n=1$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh